新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习第五章平面向量复数第一节平面向量的概念及线性运算讲义含解析

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1、第一节　平面向量的概念及线性运算突破点一　平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)(2

2、)若a与b不相等，则a与b一定不可能都是零向量．(　　)答案：(1)×　(2)√二、填空题1．如果对于任意的向量a，均有a∥b，则b为________．答案：零向量2．若e是a的单位向量，则a与e的方向________．解析：∵e＝，∴e与a的方向相同．答案：相同3．△ABC中，点D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，在以A，B，C，D，E，F为端点的有向线段所表示的向量中，与共线的向量有________个．答案：7个1．(2018·海淀期末)下列说法正确的是(　　)A．方向相同的向量叫做相等向量B．共线向量是在同一条直线上的向量C．零向量的长度等于0D．∥就是

3、所在的直线平行于所在的直线解析：选C　长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确．2．(2019·辽宁实验中学月考)有下列命题：①若

4、a

5、＝

6、b

7、，则a＝b；②若

8、

9、＝

10、

11、，则四边形ABCD是平行四边形；③若m＝n，n＝k，则m＝k；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，假命题的个数是(　　)A．1　　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：选C　对于①，

12、a

13、＝

14、b

15、，a，b的方向不确定，则a，b不一定相等，所以①错

16、误；对于②，若

17、

18、＝

19、

20、，则，的方向不一定相同，所以四边形ABCD不一定是平行四边形，②错误；对于③，若m＝n，n＝k，则m＝k，③正确；对于④，若a∥b，b∥c，则b＝0时，a∥c不一定成立，所以④错误．综上，假命题的是①②④，共3个，故选C.3．(2019·赣州崇义中学模拟)向量与共线是A，B，C，D四点共线的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B　由A，B，C，D四点共线，得向量与共线，反之不成立，可能AB∥CD，所以向量与共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件，故选B.关于平面向量的3个易错提醒(1

21、)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．突破点二　平面向量的线性运算1．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算

22、λa

23、＝

24、λ

25、

26、a

27、，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)

28、＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb2.平面向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.3．向量的中线公式及三角形的重心(1)向量的中线公式：若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．(2)三角形的重心：已知平面内不共线的三点A，B，C，＝(＋＋)⇔G是△ABC的重心．特别地，＋＋＝0⇔P为△ABC的重心．一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．(　　)(2)△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)．(　　)答案：(1)×　(2)√二、填空题1．在如

29、图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝________.答案：2．化简：(－)－(－)＝________.解析：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.答案：03．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为________．答案：－考法一　平面向量的线性运算　应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可

30、类比实数运