广西2020版高考数学一轮复习 高考大题专项练一 高考中的函数与导数 文

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1、高考大题专项练一　高考中的函数与导数1.(2018北京,文19)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.解(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f'(2)=(2a-1)e2.由题设知f'(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=12.(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.若a>1,则当x∈1a,1时,f'(x)<0;当

2、x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是1,+∞.2.(2018全国Ⅲ,文21)已知函数f(x)=ax2+x-1ex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.(1)解f'(x)=-ax2+(2a-1)x+2ex,f'(0)=2.因此曲线y=f(x)在(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明当a≥1时,f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)

3、=x2+x-1+ex+1,则g'(x)=2x+1+ex+1.当x<-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增;所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.3.已知函数f(x)=lnx+12ax2-x-m(m∈Z).(1)若f(x)是增函数,求a的取值范围;(2)若a<0,且f(x)<0恒成立,求m的最小值.解(1)f'(x)=1x+ax-1,依题设可得a≥1x-1x2max,而1x-1x2=-1x-122+14≤14,当x=2时,等号成立.所以a的取值范围是14,+∞.(2)由(1)可知f'(x)=1x+ax-1=ax2-x+1

4、x,设g(x)=ax2-x+1,则g(0)=1>0,g(1)=a<0,g(x)=ax-12a2+1-14a在(0,+∞)内单调递减.因此g(x)在(0,1)内有唯一的解x0,使得ax02=x0-1,而且当00,当x>x0时,f'(x)<0,所以f(x)≤f(x0)=lnx0+12ax02-x0-m=lnx0+12(x0-1)-x0-m=lnx0-12x0-12-m.设r(x)=lnx-12x-12-m,则r'(x)=1x-12=2-x2x>0.所以r(x)在(0,1)内单调递增.所以r(x)

5、最小值为-1.4.函数f(x)=x22+ax+2lnx(a∈R)在x=2处取得极值.(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;(2)若方程f(x)=m有三个实根,求m的取值范围.解(1)由已知f'(x)=x+a+2x,f'(2)=2+a+22=0,故a=-3,所以f'(x)=x-3+2x=x2-3x+2x=(x-2)(x-1)x,x>0,由f'(x)>0,得02;由f'(x)<0,得1

6、=m有三个实根,所以2ln2-42时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)证明当a≥1e时,f(x)≥exe-lnx-1.设g(x)=

7、exe-lnx-1,则g'(x)=exe-1x.当01时,g'(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当a≥1e时,f(x)≥0.6.定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=13x3-2x+m.(1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[-4,4]恒成立,求实数m的取值范围.解(1)∵f(x)=x2+x,∴当x=1时,f(1)=2,∵