全国通用版2019高考数学二轮复习专题四立体几何与空间向量规范答题示例6空间角的计算问题学案理

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1、规范答题示例6　空间角的计算问题典例6　(12分)如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.(1)求证：DE⊥平面ACD；(2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．审题路线图　(1)(2)―→―→―→―→规范解答·分步得分构建答题模板(1)证明　∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，∴AC⊥BC，又AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD.又DC∥EB，D

2、C＝EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD.4分(2)解　在Rt△ACB中，AB＝4，AC＝BC，∴AC＝BC＝2，如图，以C为原点，CA，CB，CD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出点坐标．则A(2，0,0)，D(0,0,1)，B(0,2，0)，E(0，2，1)，＝(－2，0,1)，＝(0,2，0)，＝(－2，2，0)，＝(0,0,1).6分设平面ADE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

3、则令x1＝1，得n1＝(1,0,2)，设平面ABE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则　令x2＝1，得n2＝(1,1,0).10分∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.∴平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为.12分第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量.第四步求夹角：计算向量的夹角．第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.评分细则　(1)第(1)问中证明DC⊥BC和AC⊥BC各给1分，证明DE∥BC给1分，证明BC⊥平面ACD时缺少AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，不扣分．(2)第(2)问中建

4、系给1分，两个法向量求出1个给2分，没有最后结论扣1分，法向量取其他形式同样给分．跟踪演练6　(2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．(1)证明　由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解　如图，作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面

5、ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，

6、

7、为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝，EH＝.则H(0,0,0)，P，D，＝，＝.又为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.