（通用版）2020高考数学一轮复习 2.5 二次函数与幂函数讲义 理

《（通用版）2020高考数学一轮复习 2.5 二次函数与幂函数讲义 理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五节二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象排列特点：第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点．三点注意：(1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y＝x－1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；(2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x轴，类似于y＝x的图象；(3

2、)当α>1时，函数图象倾向y轴，类似于y＝x3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大.(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥

3、0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．2．二次函数(1)二次函数解析式的3种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象(抛物线)定义域R值域对称轴x＝－顶点坐标奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在上是减

4、函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数[熟记常用结论]关于二次函数的几个常用结论(1)关于函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)，x∈[p，q]的最值问题若h∈[p，q]，则x＝h时有最小值k，最大值是f(p)与f(q)中较大者；若h∉[p，q]，则f(p)，f(q)中较小者为最小值，较大者为最大值．(2)根的分布问题设函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若对区间[a，b]有f(a)≥0，f(b)≤0，则曲线必与x轴相交(至少有一个交点，且交点必在[a，b]上)．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋

5、bx＋c＝0(a>0)的两根，根的分布对照y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象，知其等价不等式组的关系是：①若x1＜x2＜m，则②若m＜x1＜x2，则③若x1＜m＜x2，则④若x1，x2∈(m1，m2)，则⑤若x1，x2有且仅有一个在(m1，m2)内，则[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x

6、∈[a，b])的最值一定是.(　　)(5)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√二、选填题1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)A.　　　　　　　　B．4C.D.解析：选C　设f(x)＝xα，∵图象过点，∴f(4)＝4α＝，解得α＝－，∴f(2)＝2＝.故选C.2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)A．

7、d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c解析：选B　根据幂函数的性质及图象知选B.3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析：选C　∵函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，∴解得a>.4．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为________．解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴

8、m＝2.答案：25．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为，所以≤2，即m≤16.答案：(－∞，16]考点一[基础自学过关]幂函数的图象与性质[题组练透]1．已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝(　　)A．3　　　　　　　　B．1－C