（浙江专版）2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用学案 新人教A版必修1

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1、3.2　3．2.1　几类不同增长的函数模型预习课本P95～101，思考并完成以下问题(1)函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？图象的变化规律是什么？　(2)函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)的增长速度有什么不同？　指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(

2、n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有logax1，n>0)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．(　　)(2)当a＞1，n＞0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax＜xn＜ax成立．(　　)答案：(1)×　(2)×2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)A．y＝ex　　　　　　　　B．y＝lnxC．y＝x2D．y＝e－x答案：A3．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，

3、如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________________________．答案：y＝－x＋50(0＜x＜200)几类函数模型增长差异的比较[例1]　四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．[解析]　从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大

4、，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2.[答案]　y2常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y

5、＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．　　　　[活学活用]1．有一组数据如下表：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)A．v＝log2t　　　　　　　　B．v＝logtC．v＝D．v＝2t－2函数模型的选择问题解析：选C　从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.[例2]　某学校为了实现60万元的生源利润目

6、标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求

7、．不同函数模型的选取标准(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．　　　　[活学应用]2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76