（天津专版）2018年高考数学 母题题源系列 专题14 分段函数恒成立问题 文

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1、母题十四分段函数恒成立问题【母题原题1】【2018天津，文14】已知，函数若对任意恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果．试题解析：分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，综合①②可得的取值范围是．【名师点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立；（2）恒成立．有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方

2、面分析．【母题原题2】【2017天津，文8】已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）zxxk【答案】【解析】满足题意时的图象恒不在函数下方，当时，函数图象如图所示，排除C，D选项；当时，函数图象如图所示，排除B选项，故选A选项．【母题原题3】【2016天津，文14】已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________．【答案】．【解析】由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，，的取值范围是．【名师点睛】已知函数有零点求参数取

3、值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化思想和数形结合思想．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是找函数零点个数；一种是判断零点的范围．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，运用

4、导数来研究函数零点，这是备考中应该注意的方面．【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：利用赋值法，明确函数性质有效化简f(x＋2)＝f(x)－f（1），须从求解f（1）入手，故采用赋值法令x＝－1，进而明确函数使周期为2的周期函数，再利用函数为偶函数，得到其图象关于直线x＝1对称；第二步：借助函数性质，确定函数解析式借助函数的周期性和对称性得到函数f(x)在[0，1]上的解析式，在根据已知，明确函数在一个周期之内[0，2]的函数解析式；第三步：数形结合架起桥梁，求解范围通过y＝f(x)

5、－loga(x＋1)转化为f(x)=loga(x＋1)，问题转化为两个函数y＝f(x)与y＝loga(x＋1)的图象交点问题，画出并分析两个函数图象的位置关系，保证至少三个交点得到不等关系，进而求解参数范围．【方法总结】1．判断函数零点个数的常见方法（1）直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；（2）图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；（3）将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0

6、⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象的交点个数；(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．2．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法（1）解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上．（2）利用零点存在性定理进行判断；（3）画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．3．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参

7、数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内．缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关（2）方程的根：工具：方程的等价变形作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析

8、的函数缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数（3）两函数的交点：工具：数形结合作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围．缺点：数形结合能否