浙江专版2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.1.2蝗制学案新人教A版必修4

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1、1．1.2　弧度制预习课本P6～9，思考并完成以下问题(1)1弧度的角是如何定义的？(2)如何求角α的弧度数？(3)如何进行弧度与角度的换算？(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？1．角的单位制(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写．(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值

2、α

3、

4、＝.[点睛]　用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2rad的单位“rad”可省略不写，只写2.2．角度与弧度的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2π_rad2πrad＝360°180°＝π_radπrad＝180°1°＝rad≈0.01745rad1rad＝°≈57.30°度数×＝弧度数弧度数×°＝度数3．弧度制下的弧长与扇形面积公式　　　公式度量制　　　弧长公式扇形面积公式角度制l＝S＝弧度制l＝α·r(0<α<2π)S＝lr＝αr2(0<α<2π)[点睛]　由扇形的弧长及面积公式可知：对于α，r，l，S“知二求二”，它实质上是方程思想的运用．1．判断下列命题是

5、否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度＝1°.(　　)(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．(　　)(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×2．若α＝kπ＋，k∈Z，则α所在的象限是(　　)A．第一、二象限　　　　　B．第二、三象限C．第一、三象限D．第一、四象限答案：C3．半径为1，圆心角为的扇形的面积是(　　)A．　　　B．π　　　　C．　　　　D．答案：D4．(1)＝________；(2)－210°＝________.答案：(1)120°　(2)－角度与弧度的换算[典例]　把下列角度化成弧度或弧度化成角度

6、：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.[解]　(1)72°＝72×＝.(2)－300°＝－300×＝－.(3)2＝2×°＝°.(4)－＝－°＝－40°.角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．[活学活用]将下列角度与弧度进行互化：(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.解：(1)π＝×180°＝15330°.(2)－＝－×180°＝－105°.(3)10°＝10×＝.(4)－855°＝－855×＝－.用弧度制表示角的集合[典例]　已知角α＝2005°.(1)将α改写成β＋2

7、kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．[解]　(1)2005°＝2005×rad＝rad＝rad，又π<<，∴角α与终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，由－5π≤2kπ＋＜0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－，－，－.用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．[活学活用]1．将－1125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式为________．解析：因为－1125°

8、＝－4×360°＋315°，315°＝315×＝，所以－1125°＝－8π＋.答案：－8π＋2．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，而75°＝75×＝，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1．已知扇形的半径为10cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．解：已知扇形的圆心角α＝60°＝，半径r＝10cm，则弧长l＝α·r＝×10＝(cm)，于是面积S＝lr＝××10＝(cm2)．题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB的面积是

9、4cm2，它的周长是8cm，求扇形的半径和圆心角．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为lcm，半径为rcm，依题意有由①②，得r＝2，∴l＝8－2r＝4，θ＝＝2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2rad.题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形的周长是30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l＋2r＝30，故l＝3