2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.1.2蝗制学案新人教A版必修4

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1、1.1.2　弧度制学习目标　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换(重点).2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式(重、难点)．知识点1　弧度制1．度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad2．弧度数的计算(1)正角：正角的弧度数是一个正数．(2)负角：负角的弧度数是一个负数．(3)零角：零角的弧度数是0．(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的

2、长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是

3、α

4、＝．3．角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2π_rad2πrad＝360°180°＝π_radπrad＝180°1°＝rad≈0.01745rad1rad＝()°≈57.30°度数×＝弧度数弧度数×()°＝度数【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．(　　)(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(　　)(3)160°化为弧度制是πrad.(　　)提示　(1)×，1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角．(2)√，“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的

5、半径大小无关．(3)√，160°＝160×rad＝πrad．知识点2　扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝　l＝α·R　扇形的面积S＝　S＝l·R　＝α·R2　【预习评价】圆的半径是6cm，则圆心角为15°的扇形面积是________．解析　因为15°＝，所以面积S＝αR2＝××36＝π(cm2)．答案　π(cm2)题型一　角度与弧度的互化及应用【例1】　将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－800°；(3)；(4)－π．解　(1)20°＝20×＝；(2)－800°＝－800×＝－π；(3)＝(

6、×)°＝105°；(4)－π＝－(π×)°＝－144°．规律方法　角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝rad和1rad＝()°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·()°；n°＝n·．【训练1】　(1)把112°30′化成弧度；(2)把－化成度．解　(1)112°30′＝()°＝×＝．(2)－＝－×()°＝－75°．题型二　用弧度制表示角的集合【例2】　用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．解　(1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－

7、＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为{α

8、－＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是{α

9、＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．规律方法　根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．【训练2】　已知角α＝2010°．(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．解　(1)2010°＝2010×＝＝5×2π＋，又π<<，∴α与终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的

10、角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ＜0，∴当k＝－3时，γ＝－π；当k＝－2时，γ＝－π；当k＝－1时，γ＝－π．题型三　扇形的弧长公式及面积公式的应用【例3】　已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．解　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r．∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r＝－2＋．∵r>0，l＝a－2r>0，∴0

11、半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝

12、α

13、r2，二是l＝

14、α

15、r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)解决此类题目要首先分析已知哪些量，要求哪些量，然后灵活运用公式求解．提醒：当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S转化为关于R的二次函数，但要注意R的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必须满足0