2019-2020年高考数学一轮复习不等式选讲第二节不等式证明的基本方法课后作业理选修

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1、2019-2020年高考数学一轮复习不等式选讲第二节不等式证明的基本方法课后作业理选修1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，证明：(1)＋＋＋abc≥2；(2)＋＋≥9.2．(xx·云南模拟)已知a是常数，对任意实数x，不等式

2、x＋1

3、－

4、2－x

5、≤a≤

6、x＋1

7、＋

8、2－x

9、都成立．(1)求a的值；(2)设m>n>0，求证：2m＋≥2n＋a.3．设函数f(x)＝

10、x－4

11、＋

12、x－3

13、，f(x)的最小值为m.(1)求m的值；(2)当a＋2b＋3c＝m(a，b，c∈R)时，求a2＋b2＋c2的最小值．4．设a，b，c均为正

14、数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.5．(xx·长春质检)(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.6．设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：2＋2＋2≥.1．证明：(1)因为a，b，c为正实数，由基本(均值)不等式可得＋＋≥3，即＋＋≥，所以＋＋＋abc≥＋abc，而＋abc≥2＝2，所以＋＋＋abc≥2.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．(2)＋＋≥3＝≥＝，所以＋＋≥9，当且仅当A＝B＝C＝时取等号．2．解：(1)设f(x)＝

15、x

16、＋1

17、－

18、2－x

19、，则f(x)＝∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x，

20、x＋1

21、－

22、2－x

23、≤a都成立，即f(x)≤a，∴a≥3.设h(x)＝

24、x＋1

25、＋

26、2－x

27、＝则h(x)的最小值为3.∵对任意实数x，

28、x＋1

29、＋

30、2－x

31、≥a都成立，即h(x)≥a，∴a≤3.∴a＝3.(2)由(1)知a＝3.∵2m＋－2n＝(m－n)＋(m－n)＋，且m>n>0，∴(m－n)＋(m－n)＋≥3＝3，∴2m＋≥2n＋a.3．解：(1)法一：f(x)＝

32、x－4

33、＋

34、x－3

35、≥

36、(x－4)－(x－3)

37、＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1.法二：f(

38、x)＝当x≥4时，f(x)≥1；当x<3时，f(x)>1；当3≤x＜4时，f(x)＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1.(2)(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)≥(a＋2b＋3c)2＝1，故a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝，b＝，c＝时取等号．故a2＋b2＋c2的最小值为.4．证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥

39、2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.5．证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b>0.又因为a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.①同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c.②c2(a2＋b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋

40、c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc.6．证明：2＋2＋c＋2＝(12＋12＋12)2＋2＋2≥1×＋1×b＋＋1×2＝1＋＋＋2＝1＋(a＋b＋c)＋＋2≥×(1＋9)2＝.即原不等式成立．