2018届高考数学大一轮复习不等式选讲第二节不等式证明的基本方法.docx

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1、第二节　不等式证明的基本方法☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度　　了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法。2016，全国卷Ⅱ，24,10分(比较法证明不等式)2015，全国卷Ⅱ，24,10分(分析法、综合法证明不等式)2014，全国卷Ⅰ，24,10分(放缩法、反证法证明不等式)　　本部分主要考查比较法、综合法、分析法证明不等式，往往应用完全平方式、基本不等式等知识点，有时与函数、数列相结合。微知识　小题练自

2、主

3、排

4、查1．比较法作差比较法与作商比较法的基本原理：(1)作差法：a－b

5、>0⇔a>b。(2)作商法：>1⇔a>b(a>0，b>0)。2．综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法。(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立。这是一种执果索因的思考和证明方法。3．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行

6、正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法。4．放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法。5．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立。微点提醒1．作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系。2

7、．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立。小

8、题

9、快

10、练1．设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1。【证明】　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1。所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤。(2)因为

11、＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c。所以＋＋≥1。2．设a>0，

12、x－1

13、<，

14、y－2

15、<，求证：

16、2x＋y－4

17、

18、x－1

19、<，

20、y－2

21、<，所以

22、2x＋y－4

23、＝

24、2(x－1)＋(y－2)

25、≤2

26、x－1

27、＋

28、y－2

29、<2×＋＝a。微考点　大课堂考点一比较法证明不等式【典例1】　(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集。(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，

30、a＋b

31、<

32、1＋ab

33、。【解析】　(1)

34、f(x)＝当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；当－

35、－1

36、a＋b

37、<

38、1＋ab

39、。【答案】　(1)M＝{x

40、－1

41、中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负。【变式训练】　设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)。　【证明】　由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5]。当a≥b时，≥，从而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0；当a0。所以a3＋b3≥(a2＋b2)。考点二综合法、分析法证明不等式【典例2】　(1)已知x，y均为正数，

42、且x>y，求证：2x＋≥2y＋3。(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥。【证明】　(1)因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，(当且仅当x－y＝1时，等号成立)所以2x＋≥2y＋3。(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥，只需证(a＋b＋c)2≥3。即证：a2＋b2＋c2＋2(a