阻尼振动的探究

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1、阻尼振动的探究摘要：以弹簧振子的阻尼振动及RLC电路的阻尼振荡为例，探究了阻尼振动。同时，以这两个阻尼振动系统为例分析了阻尼振动衰减吋的特点。关键词：阻尼振动阻尼系数衰减ResearchondampedvibrationHuangyihangAbstract:Thisarticleresearchesintodampedvibrationbytheexampleofspringoscillator'sdampedvibrationandtheexampleofRLC'sdampedvibration.Atthesametime,thisarticleresearchesthepoi

2、ntsofdampedvibratiorVsattenuationbythetwoexamples・Keyword:dampedvibrationdampingcoefficientattenuation简谐运动乂叫做无阻尼自山振动。但实际上，任何的振动系统都是会受到阻力作用的,这种实际振动系统的振动叫做阻尼振动。在阻尼系统中，振动系统耍不断地克服阻力做功,所以它的能虽将不断地减少。一定时间后回到平衡位置。弹簧振了在冇阻力情况下的振动就是阻尼振动。分析安置在一个水平光滑表面的弹簧振子。収弹赞处于自然长度时的平衡位置为朋标原点。忽略空气等阻力，则弹簧振子只受到弹簧的弹力作用。即F=—

3、kx由牛顿第二定律，可得d2xd2xkm^=~kXT乔+孑"此微分方程的通解为（k2x=Acos—t+cpm2）给定初始值，弹簧在t=0时，x=x0,g=0z则此微分方程的解为k2x-%ocos（r匕）弹簧振子在初始吋刻，被拉离坐标原点％距离，即弹簧被拉长尢0（%>0）。而后，弹赞由于弹赞拉力作用而返回原点，很容易就可以想到弹簧将作往复运动。如方程所描述弹簧作简谐振动。如果考虑弹簧振子运动时的阻力，情况将如何呢？由实验，可知运动物休的速度不太人时，介质对物休的阻力与速度成正比。乂阻力总与速度方向相反，所以阻力与速度有如下关系：dxfr=_yV=_y_y为正比例常数。则此时，上面

4、所列弹簧振子的运动方程应为：d2xdxm—r=-kx-y—dt2rdt考虑此方程，令此=*20=三。可知3。即为弹费振子在无阻力振动时的角频率，称0为阻尼系数,如此可得:dldxo丽+20石=°此微分方程通解为：A,B由弹簧振子的初始值，即仁0时的X,罟值决定。由上通解无法直观看出弹簧振子的实际运动杲象如何。下面以0与⑺。的大小关系分为三种情况考虑。0V®。时，可将通解化为如下形式：x（t）=A0e~^tcos（a）t+（p0）其中co=y/a）Q2-p2而Wo由弹簧振了的初始值决定。其位移时间图像，大致如下1.00.5-10120.5P=3o时，微分方程的解为x(t)=(41+4

5、2%®而血金值由弹赞振子的初始值决定。其位移吋间图像大致如下:B>3。时，微分方程的解为x(t)=(Ae(R)t+Be(「戶叭eWA,B值山弹•簧振子的初始值决定。其位移时间图像大致如下：“为阻尼系数，当“V3。，即阻尼系数较小时，这种阻尼作用称为欠阻尼。欠阻尼下,弹簧作振幅逐渐减小的振荡性周期运动。P>（DO吋，弹簧振子将不做周期运动，而是作幅度逐渐衰减的运动，一定时间后，弹簧振了回到平衡位置。仔=0）。，称为临界阻尼。/?>s称为过阻尼。由欠阻尼和过阻尼的图像比较，同时观察过阻尼情况下的弹鹫振子运动方程町知。临界阻尼时衰减最快，阻尼系数越人时，衰减越慢。下面考虑另一阻尼振动例了

6、。LC振荡电路中，加入电阻，即LCR电路的振荡是阻尼振荡电路。因此LCR电路的振荡也是一个阻尼振动的例子。分析此电路，电路中电流为：则电阻上电压为:电感上电压为：由KVL得：令2“=£鸥=占可得到:门dueQ+2p—+a)luc=0观察可知此式子与有肌力的弹簧振子的振动方程，具有完全一样的形式。故可知其中电容上的电压也有欠阻尼振动，过阻尼振动与临界阻尼振动。考虑一实际例子。电路中参数如T：电容上初始电压为10V,电路中电流初始为0,电阻与电感上都无初始电压值。电阻分别取600欧姆,2000欧姆,4000欧姆,8000欧姆。电容为电感为2H。计算可得吕为1000000□因此，当电阻为

7、600欧姆时，为欠阻尼；2000欧姆时为临界阻尼；4000及8000时为过阻尼。四种电阻情况，亦即四种阻尼系数情况下，RLC电路中电容上电压的变化有四个不同的函数。在一个图中做出四种情况下电压随时间的变化图像如下：R,4000吋，U=-0.00289(267.95g7732.o5t一3732.05e-26795t)R,8000时，U二-0.00129(127.02e-7872.98t一7872.98e-12702t)由RLC振荡电路的阻尼振动的图像屮也可看出，在非欠阻