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1、函数的性质与图像一、单调性设函数y=f(x)在区间［a,b］上满足：若xi,x2^［a,b］且X］＜x2时，恒有f(xJVf(X2)(f(xJ〉f(X2))成立，则称y=f(x)在区间［a,b］上是单调递增(单调递减)函数，称区间［a,b］是函数y=f(x)的单调递增区间(单调递减区间).(1)所谓函数的单调性是指函数在什么区间上是单调增的，什么区间是单调减的•单调函数是指函数在整个定义域上是单调增(或减)的•若函数在某区间上具有单调性且在两端有意义，这时单调区间应为闭区间•反之，则为开区间.(2)设f(x)在区间
2、11和【2上都分别是单调递增(或递减)，且hni2^0,则f(x)在I1UI2上也是单调递增(或递减)的•【若11Q【2=①，则不一定成立•如y=Z在(0,4-°°)^n(-oo90)上均为单调A.递减，但在(0,+°°)5・8,0)上不是单调递减的・】(3)设y=f(x)在区间I上单调递增(单调递减)函数，且f(x)的值域为E,则它在I上必存在反函数，且反函数在E上必是单调递增(或递减)函数.特别地，单调函数必有反函数，且反函数的单调性与原函数是一致的.(4)关于复合函数y=f(W(x))(u=w(x))・①若y
3、=f(u)与u=屮(x)单调性相同，则F(x)=f(屮(x))是增函数①若y=f(u)与u=w(x)单调性相反，则F(x)=f(v(x))为减函数.(1)若f(x),g(x)是定义在同一区间上的两个函数.①f(x),g(x)是增丙数(或减函数)，则f(x)+g(x)也必为增函数(或减函数).②若f(x),g(x)恒大于零，且f(x),g(x)都是单调增(或减)的，则f(x)•g(x)也为增函数(或减函数).二、奇偶性若函数y=f(x)对定义域内一切x,都有f(-x)-f(x)(或f(-x)=-f(x)),则称y=f
4、(x)为偶函数(或奇函数).(1)奇、偶函数的定义域必是关于数轴原点对称的区域.(2)既是奇函数又是偶函数的函数是存在的，且有无数多个，其函数值均为0,定义域是关于原点对称的区域.(3)在共同的定义域上，两个偶(奇)函数和、差仍为偶(奇)函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，两个奇(偶)函数的积为偶函数.(4)f(x)与盍具有相同的奇偶性.(5)偶函数必不存在反函数.(6)定义域关于原点对称的任何一个函数，都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和.三、周期性函数y=f(x)满足：对定义域内任意x,存在常数TH0,
5、使f(x)=f(x+T)恒成立，则称y=f(x)为周期函数，T为y=f(x)的周期(1)周期函数的定义域是无界的.(2)若T为y=f(x)的周期，则nT(nGZJln^0)均为y=f(x)的周期.(3)若函数y=f(x)有最小正周期T,那么它除nT(nGZ且nHO)夕卜，函数f(x)无其他周期.(4)设f(x)的最小正周期T,则f(入x)(入H0,入eR)有最小T正周期古•错误！未定义书签。错误！未定义书签。错误！未定义书签。(5)若函数u=屮(x)是周期函数，函数f(u)是任意函数，则f(V(x))是周期函数.(
6、6)设函数u=iu(x)在数集D上有最小正周期To,函数f(u)在数{ulu=V(x),xGD}上严格单调，则复合函数f(V(x))在D上也有最小正周期To.(7)若函数f(u)是D上的周期函数，u=屮(x)=ax+b(aHO)是线性函数，则复合函数f(ax+b)是己={xlax+bWD,xWR}上的周期T函数，且当f(u)的最小正周期为T时，f(ax+b)的最小正周期为虏.四、函数的图像1・图像的对称性若函数y=f(x)对定义域内一切x,有：(1)f(—x)=f(x),则函数图像关于y轴对称.(2)f(-x)=-
7、f(x),则函数图像关于原点对称(1)f(x+a)=f(a—x)或f(x)=f(2a—x)(a为常数)，则函数图像关于x=a对称(2)y=f(x)与y=f(—x)关于y轴对称，y=f(x)与y=—f(x)关于x轴对称，y=f(x)与y=—f(—x)关于原点对称，y=f(x)与x=f(y)关于y=x对称.2•平移变换(1)y=f(x—a)(a>0)是将y=f(x)的图像向右平移a个单位(2)y=f(x+a)(a>0)是将y=f(x)的图像向左平移a个单位(3)y=f(x)+b(bH0,bWR)是将y=f(x)的图像向
8、上(b>0)或向下(bVO)平移Ibl个单位3•翻折变换(1)y=lf(x)l的图像可以看作y=f(x)的图像在x轴上方不变，x轴下方沿x轴向上翻折后所得.(2)y=f(lxl)的图像可以看作y=f(x)的图像在y轴右方不变，并将y轴右方的图像沿y轴向左翻折后所得.(3)x=f(y)的图像可以看作y=f(x)的图像关于y=x翻折后所得.4•压缩变换(1)y=
