［精选推荐］探究存在性问题(数学)

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1、探究存在性问题“三部曲”(江苏杨大为)存在性开放问题大多数是运用类比的方法，通过类比归纳、猜想、论证，即通过分析类比、提岀猜想，再进行必要的论证。具体的思路是，假设结论存在或成立，若推证出矛盾，则结论确实存在或成立；若推证出才盾，则结论不存在或不成立。说的明口一点就是，探究“存在性”问题，i般遵循“三部曲”：假设存在——推理论证——得出结论(合理或矛盾两种情形)。但任何事悄都不是绝对的，冇的存在性问题很明显，并不需要严格按照上ifii的三个步骤进行。现以儿道屮考压轴人题为例，相信对你的屮考复习会有所帮助。例1(2007年湖北省荆门市第28题)

2、.如图1,在平面肓角坐标系屮，有一•张矩形纸片创〃C,已知0(0,0),力(4,0),00,3),点P是创边上的动点(与点0、A不重合).现将△丹〃沿阳翻折，得到△刊冯再在化边上选取适当的点伐、紅POE冷PE翻折，得到△丹为并使直线勿、刃,重合.(1)设户匕，0),也0,力，求y关于/的函数关系式，并求y的最人值；(2)如图2,若翻折后点〃落在比、边上，求过点只B、F的抛物线的函数关系式；⑶在⑵的情况下，在该抛物线上是否存在点0,使△昭是以肱为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点"的处标.图1yDBE0Ax图2分析：此题将

3、矩形纸片放在平面直角坐标系中操作，利用折叠探究函数关系式，融对称、相似、函数等众多知识点于一体，属常规的存在性问题探究题，难度不是太大，相信同学们能顺利求解。(下面给出详细解答，有的还附上了原分值，以供同学们参考。)解:(1)由已知〃平分ZAPD,必平分上OPF,且刃、PF重合,则Z俗母90°.:.ZOPE+ZAPB=90°.又ZAPB+ZAB/^90°,:.ZOP&ZPBA・ARtAm^RtA^2分即-=^—..y=Lx(4-x)=--x2+-x(0<^r<4)・OEAPy4-x「333且当尸2吋，y有最大值4分1a~2"⑵由已知，4PA

4、B、△磁均为等腰三角形，可得7(1,0),£(0,1),〃(4,3).……6分c=1,设过此三点的抛物线为y^ax+bx+c,贝U

5、题).如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，=a厘米(a>3).动点M,N同时从B点出发，分别沿BtA,B—C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直丁MB,分别交AN,CD于P,Q.当点N到达终点C吋，点M也随之停止运动.设运动时间为r秒.(1)若a=4厘米，/=1秒，则PM=厘米；(2)若a=5厘米，求时间儿使厶PNBsHPAD,并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN耳梯形PQDA的面积相等，求d的取值范围；(4)是否存在这样的矩形：在运动过程屮，存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等？若

6、存在，求a的值；若不存在，请说明理由.DA分析：此题仍然以矩形为依托，放弃了上例的平面直角坐标系，融入了物理上的运动、数学上的相似、梯形、面积、方程等知识点。与上例类似，作为中考压轴人题，也不是很难。解：(1)PM4(2)r=2,使厶PNBs^paD,相似比为3:2(3)•/PM±AB,CB±AB,ZAMP=ZABC,△AMPs^ABC,•••=即=,•/PM=—,BNABtaa当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即+=(MP+BN)BM•・・rW3,・・.一^-W3,贝iJaW6,.・.3vaW6,6+a(2)・・・3

7、MBN与梯形PQDA的血积相等梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM.•.丄@一0=3-（，把t=-^-代入，解Z得a=±2羽,所以a=2品.a6+a所以，存在d,当a=2品吋梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等.仞J3（2007年辽宁省十二市第26题）•如图，平血酉•角坐标系中有一肓角梯形〃，点〃的坐标为（一8,0）,点川的坐标为（一6,-4）.（1）画出直角梯形购W/绕点0旋转180°的图形OABC,并写出顶点弭，C的处标（点財的对应点为J,点艸的对应点为B,点〃的对应点为Q；（2）求出过B,C三

8、点的抛物线的表达式；（3）截取C&O&AE,且圧F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形购％的面积•••S与/〃之间的函数关系式，并写出自变量加的取值范围；而积