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1、新定义边形探究江苏省沛县初级中学黄慧221600新定义是体现课标“数学学习内容应当是现实的，冇意义的，富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、发现、猜测、验证、推理与交流等数学活动”要求的一种新题型。文字叙述较长，常冇淫生阅读不细致，定义不理解，形不成知识迁移，不能类比应用。现以新定义四边形为例探究思路如下：一.定义等对边四边形例1(2007北京市)。我们知道：冇两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。(1)请写出一个你学过的特殊四边形屮是等
2、对边四边形的图形的名称。(2)如图，在ZiABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点0,若ZA=60°,ZDCB=ZEBC=丄ZA,请你写出图2中一个与ZA相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形。(3)在AABC中，如果ZA是不等于60°的锐角，点D、E分别在AB、AC上,且ZDCB=ZEBC=丄ZA。2探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。解析:(1)按照至少冇一组对边相等的条件判定，学过的特殊四边形屮是等对边四边形的有：平行四边形、等腰梯形、矩形、菱形、
3、正方形等。(2)显然ZB0D(或ZC0E)二Z0CB+Z0BC=ZA,猜想，四边形DBCE是等对边四边形。(3)满足上述条件的图形中存在等对边四边形DBCEo作ZBCF=ZDBC交BE于F,则竺ACFB,BD=CF,ZBDC=ZCFB,可知ZADC二ZCFE又ZBOD=ZDCB+ZEBC=ZA,有四边形AD0E内接于圆，ZCEF=ZADCo故ZCEF=ZCFE,CE=CE。因此BD=CE,四边形DBCE是等对边四边形。本题以新定义等对边四边形为契机，结合教材内容，提供探索空间，让学生经历观察、实验、猜想、
4、推理、反思等活动，学会创新学习的本领。二、定义等对角线四边形例2（2006北京市）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形，请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称。（2）探究:当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。解析：（1）根据等对角线四边形定义，学过的图形中有矩形、等腰梯形、正方形等。（2）等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60。时，这对60
5、°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长。可证明如下：已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于0点，AC=BD，且ZA0D=60°求证:BC+ADMAC证明：作DF〃AC,并在DF上截取DE=AC。①当BC与CE不在同一条直线上吋，连结BE、CE,N/则四边形ACED是平行四边形，Z/、ZED0=ZA0D=60°,LA/故ABDE是等边三角形,CE二AD,DE=BE=ACb…讨在ZXECE中，由BC+CE>BE，知BC+AD>AC。cp②当BC与CE在同一条直线上时，则BC+CE二BEaD由①
6、知CE=AD,DE=BE=AC,因此BC+AD=AC综合①、②得BC+AD2AC/木题运用特殊与一般的辨证关系,把一个复杂、气》----一般的问题退到简单、特殊的情况入手，由此获得启发和感悟，进而找到解决问题的止确途径。三.定义凸四边形的准内点例3（2009年浙江台州）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一•组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点•如图hPH=PJ,PI=PG，则点P就•••是四边形ABCD的准内点.（1）如图2,ZAFD与ZDEC的角平分线FP,EP相交于点P.求证：点P是四边形ABC
7、D的准内点.（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点.（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”.①任意凸四边形一定存在准内点.（）②任意凸四边形一定只有一个准内点•（）③若P是任意凸四边形ABCQ的准内点，贝\PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD.（）解析：（1）如图2,过点P作PG丄AB,PH丄BC,PI丄CD,PJ丄AQ,由EP平分ZDEC,得PJ=PH•同理PG=PI•贝UP是四边形ABCD的准内点.(2)DG图4平行四边形对角
8、线AC,BD的交点片就是准内点，如图3（1）・或者取平行四边形两对边屮点连线的交点片就是准内点，如图3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点戶2就是准内点.如图4.（3）真；真；假.三.定义四边形的准等距点例4.（2007年浙江省宁波市）定义：四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点•如图1,点P为四边形ABCD对角线AC所
