新课程高考中数学探索性问题的复习探究

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1、新课程高考中数学探索性问题的复习湖南省常德市安乡县第五中学张仕兵高考数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想方法的考查，在新课程数学高考考试大纲中，要求对创新意识进行必要的考查。而探索性问题，创设新颖的问题情境，体现思维的发散性,很好地承载了这一考查耍求。本文拟对近年来高考试题中频繁考查的探索性问题，进行一定的探究。一、考点分析与考查热点预测如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称Z为探索性问题•条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.探索性问题常常需要由给定的题设条

2、件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现规律性的东西。问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往难于下手。近年来，探索性问题在高考试题中多次出现，主要有以下几类：(1)探索条件型问题：从给定的问题结论出发，追溯结论成立的充分条件；(2)探索结论型问题：从给定的题设条件出发，探求相关的结论；(3)探索存在型问题：从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在;(1)探索综合型问题：从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发，探究问题的相应变化。预测2010年数学试卷中继续保持探索型、开放

3、型、研究型等题型,形式上也会有所突破，如只猜不证，只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计，题型的创新，带来了新的理念，这必将促进教学的创新。二、探索性问题的复习探究问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征，从探索性问题的解题过程来看，没有确定的模式，可变性多，对观察、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高，探索性问题的解题策略有：1特殊值探路，一般化证明从最简单、最特殊的情况出发，有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格证明。例］.已知=n2+2n-3,bn=2",〃wM,试判断

4、鑫与仇的大小关系。分析：由绚V片,a2>b2,a3>b3,a4>b4,a5=b5,a6bn,当〃=1或^>6时心<仇，然后用数学归纳法证明猜想的正确性。2假设存在，推理检验此类题型需从题目所给出的条件及所探求的结论两方面入手，充分挖掘题设条件的内涵与外延，积极向所探究的结论靠拢。解答这类问题的一般思路是：先假立对象存在，运用条件进行推理。若得到相应的合理结论，断言这个对象是存在的；若出现矛盾，则否定先前假设，断言对象是不存在的。例2・抛物线过定点A(0,2)且以x轴为准线。(1)求抛

5、物线的顶点M的轨迹C。(2)问过定点1］是否存在一对互相垂直的直线同时都I2丿与轨迹C有公共点？证明你的结论。解：(1)利用数形结合法，根据抛物线定义可求得动点M的轨迹方程为：x2+4(y—1)2-4(yMO)(2)过点B的直线与曲线C有交点需满足什么条件？两直线垂直的条件又是什么？这两者中有何关系？从而推岀合理的结论。设过点丄，1］的直线L为：y-l=k(x+上)，L与C有交点的条I2丿2=/5件为方程组「巧J有解=>A>O=>H<

6、x2+4(y—1)2=4现假设存在一对过B冃与轨迹C有公共点的互相垂直的直线L】和L2,贝I」有出=-1=>阻•©=1,但由

7、上述结果知耐・他

8、5害,这就产生矛盾，故这样的直线不存在。例3.(2008湖北高考题)已知数列｛%｝和他｝满足：d］=2,+〃—4,仇=(―1)"(°“—3斤+21),其中久为头数，"为正整数。(I)对任意实数2,证明数列匕｝不是等比数列；(II)试判断数列0｝是否为等比数列，并证明你的结论;(Ill)设0

9、2_42o9=0,矛盾。3999所以｛/｝不是等比数列。(II)解：因为亦二(T)旳［站-3(??~1)+21］二(-1)旳(彳禺-2/7+14)--(-1)"'•(臼厂3卅21)-bn33又方严(入+⑻,所以当入=—18,妒0(圧2),此时仏｝不是等比数列:当入H—18吋，方尸(入+18)H0,由上可知b丹，.••丛=-色(刀^2)・bn3故当入HT8吋，数列｛bn｝是以一(入+18)为首项，一？为公比3的等比数列.(III)由(II)矢口，当入二-18,妒0,5二0,不满足题目要求.・••入H-18,故知bn=-(X+18)•(―?)戸，于是可得3$二_

10、2(2+18)・1-.5L3」要使a