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《浅谈用“向量法”解决解析几何、立体几何、三角、平面》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈用“向量法”解决解析几何、立体几何、三角、平面几何问题北京市延庆县教科研屮心吴喜儒苑东合一、向量的地位、作用分析向量是近代数学中重要和基木的数学概念之一，它是沟通代数、儿何与三角函数的一种工具，有着丰富的实际背景。在高中阶段，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表示和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际ImJ题的能力。彖数一样，向量是可以“算”的，从数的运算，到向量运算，是认识运算的又一次跳跃。向量的加法、减法运算的特征是两个向量通过加法、减法运算得到笫三个向量，也满足结合律，有零元，示十=所
2、以向量的加法、减法运算是属于型的代数运算；向量的数乘运算的特征是一个数与一个向量通过数乘运算得到一个向量，它满足一系列运算规则，例如，结合律：农，分配率：•倉等。所以,数与向量的数乘也是一•种运算，是属于型的代数运算；向量的数量积的特征是两个向最通过数量及运算得到一个数，同样，它也满足一系列的运算规则，例如，分配率:认（&+劝=讥42・力,等，所以向虽的数量积也是-种运算，是属于型的代数运算。向量的运算不同于数的运算，它涵盖了三种类型的代数运算。与数的运算相比,向量的运算扩充了运算对象。向最运算更加清晰地展示了三种类型的代数运算的特征以及代数运算的功
3、能,同时，向量运算具有与代数运算不同的一些运算规律,这对于学生进一步理解其他数学运算、增强学生的运算能力具有基础作用。因此，从数的运算到向量运算，是学生数学学习的又一次质变，学生对运算的理解也会更上一层楼。向量既是代数的对象，乂是儿何的对象，它是沟通代数与儿何的桥梁。《标准》将向量与三角函数设计在一个模块中，主要是为了通过向量沟通代数、儿何与三角函数的联系，体现向量在处理三角函数问题中的工具作用。《标准》要求学生经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，并由此公式作为出发点，推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式等。二倍角的正弦、余弦、正切公式
4、以及积化和羌、和差化积、半角公式等。这个过程有助于学住体会向量与三角函数的联系、数与形的联系以及三角恒等变换公式Z间的内在联系。二、用“向量法”解决解析几何问题举例例1用“向量法”判断两条直线的位宜关系1"i线4■咼况十By+"C=04~Bf*Q）F[•线A:^
5、jr十B^y"t~C=0（ilj"b*Q）直线人的方向向量为SQ,法向量为尺二S•耳）；直线4的方向向量为d（-A）,法向量为泾=4■码）；7i与7>的夹角为二则有:云用廉矗U>N]$2-丄2耳H0U>£与珀相交；Sttb^mXS<=>-人B、=Qo召或A与J重合;a丄&伺>«8丄用Q**4
6、耳=0专》召丄右.8sS=
7、8f{=河引I4A4■热昂
8、1-1*1何耳x"毎例2用“向量法”推导解析儿何屮的基本公式1•两点的距离公式:已知两点成屿M凤召宀），求3S血解：冃（乞-和”-片）
9、=J包-可力+5-片尸2.中点坐标公式：已知两点心风耳必），w』）是线段M的中点，求点的坐标.w、AC=-jW解：因为C0』）是线段M的中点，所以2石=仓（巧十巧）刃=£s-Fi）卜十乃）2解得:122.点到直线的距离公式：已知点0小）和直线*：缶十妙十宀0（才十炉・叭求点F到直线/的距离.解：通过点比屿・刃）作直线曲，并R与直线•'垂直，设垂足为尺忌
10、亠）.则问题可转化为求匸和品两点之间的距离问题.如图，直线/的一个法向最为"«人町，设点以“5为直线？上的任意一点，则有^+£>*+0=0(1)方向上的射影为向量材设点F到直线？的距离为彳1,则"御•设向量3与向量壬的夹角为耳,“卒冃囲金伞勿弓函111響X则21而a0P=(AJ)-(«i-O!-/J=A+flKi-(^+4/)=^i+flri+C卄
11、払严卡I所以，抵+沪・2.求线段的中垂线所在直线的方程已知两点武％刃人〃（可宀），求线段AB的屮垂线所在肓线/的方程.C（瓯★叼A+21）一解：线段上〃的中点处标为22,向量"3—g—吨・兀—卄），则与向
12、量而垂直的一个向量*=,即/的一个方向向量为儿可-可,设/上任意一点为*口•力,则CP（「誉旷今由褊"CP得:&-筈1Hr-驾令3-乃）=0(xj-x^x+C^a-^br-=0整理得:运用“向量法”解决解析儿何问题，过程简捷，思路清晰，避免了“解析法”小因为直线斜率是否存在产牛的分类讨论.三、用“向量法”解决三角问题举例1•用“向量法”推导两角差的余弦公式已知角馄fi证明：co«(13、存在上€乙使得a-fi=十2&■或-+2far成立.内为OPOQ=(ga,ih=
