浅谈数形结合解数学问题

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1、浅谈数形结合解数学问题•中学数学论文浅谈数形结合解数学问题高洋(宿迁市湖滨新城井头第二初级中学,江苏宿迁223807)摘要:数〃与〃形〃是事物的两个侧面,数形结合正是从这方面去认识事物的特征，揭示其规律的。数形结合法，就是借助于图形，简化计算过程，从而得岀正确的探求结论,它既是方法，也是技巧,更是基本的数学思想。关键词:数形结合；数学问题；数学思想中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351(2013)-04-0034-01〃数〃与〃形〃是事物的两个侧面。数形结合正是从这方面去认识事物的特征，揭示其规律的。在解决数

2、学问题时，通过数形结合，可将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的作用，实现抽象概念和具体形象的联系，可以把数量关系转化为图形的性质问题来研究,或着把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，使数学问题得到解决。数学家华罗庚先生曾对数形结合的思想和方法赋诗：〃数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。"数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。一方面,许多数量关系

3、的抽象概念和解析式，若赋予几何意义，往往变得非常直观形象,从而使问题简单化，另一方面，一些图形的属性又可通过数量关系的研究使图形的性质更丰富，更准确,更深刻•这种〃数〃与〃形〃的信息转换，相互渗透不仅可以使一些题目的解决简捷明快伺时还可以大大开拓我们的解题思路为研究和探求数学问题开辟了一条重要途径,数形结合法就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种"结合〃寻找解题途径，使问题得到解决，它包含"以形助数〃和〃以数辅形’两个侧面,高中阶段用的较

4、多的是以形助数。下面举例说明。例1:如图I•双曲线辛-音二I的两个俄点为人F•点p崔収曲线上•若PF.丄PF：•则P到1轴的距离为(2001年高考题)解析:设点P到x轴的距离为人・曲定义和巳知条件可知:(IPF,I-IPF:I):x4a*"FJ：+屮人1：=IFfJ?=4用xIPkI=1人儿1xh=2bj=?=¥图l图2例2：C知定点.4(0.1),点〃在直线a+>=0上运动.当线段I"最短时■点H的坐标足(-；)(2003年上梅岛考题)■•解析:如图2可知闿M最短时•肋垂直直线t+>=0.由图象可知点〃的坐标是〈-牟岸〉■例3：

5、求函&y=J£+5*x'-145x+1()的最值o解:根据所给函数的结构持征•我们可将用敎变形为：V=/((_0)、(()_$)2+/匕一岛)2+(()+孙它及示X轴上的点P(v.0)到卩面上两点职()・V5,HI〃13・-⑤的距离之和，如图3.利用平面几何知识•三「⑹㈣亿二中大于第三边的杵质町得泊"厚时亠严；加=5•而畑人值说明:类似地•求一7x^1744-ZrJ+1的虽值何邈•也口J以转化为求h轴上的点卩（"（））到两定点4（-丨・3）."（；・:）的距离之差的问题来处理。图3例4•求/(*)=餡：该函数可变形为：/（O=J*?

6、」）"■（—2）7+它表示平面上一点P（y-

7、=PF,即/（G为丨PM

8、+PM的Jft小值•利用平面几何知识，三角形两边之和K于第三边的性质町用：一7P点坐标为（2,2）时Ja）可取得最小值十评注:这类臥数解析式的结构与平面頁用坐标系中的两点间距离.点到直线的距离公式可以联系起来如果能构造出相应的儿何背tJL并利用有关的儿何性质解答•则容易求得最值'图4用5解冷vZl-(t-2):(?R)_即(—2)，4-/=!(y^O

9、)本题转化为求"d缶的最值.即求満足£+3；丁：1)的鹿值也围’I(X-2)4y=1因此本题可理解为•在半圆周上求点•便得它与定点”(-I.-3)的连线斜率达最值，如图厶的斜率为绘小值，厶的料率为最大值•则由圆心到切线的距离为半径可得:点(2.0)到直线虹-y十人‘・3二()的距离为丨・2&+£-3

10、职心/7)・・・由图形可知—*(9+/17),^0=^参考文献:[1]全国历年高考考卷.