立体几何图形中动点轨迹的探求策略

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1、立体几何图形中动点轨迹的探求策略文/尚继惠由于高考强化能力立意，因此一些创新试题不断出现。立体儿何也不例外，比如其中动点轨迹问题，就很亮眼，这非常易于考察学生的创新精神和探索能力。那么对这类问题该采取怎样的探求策略呢？现提供如下儿种方式。一、特款检验例1（04重庆理）若三棱锥A-BCD的侧回ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹在侧而ABC内纽成的图形可能是（）DA解析「'特款检验”是采取特殊化策略，因本题没有说三棱锥是什么具体样子，所以我们不妨川特殊情形来验证。如令三棱锥A-BCD为直棱锥，如图，AB丄面BCD,即有而AB

2、C垂直UlBCD,P到血BCD的距离即为P到BC的距离，那么在侧而ABC中到AB与到BC距离相等的动点P的轨迹显然是一条直线，即为上ABC的平分线，于是否掉4,3。对CQ该选那个呢？再令4C丄jfliBCD,立即知道D真。二、理论推导例2（04天津文）如图，定点A和B都在平面G内，定点P",PB丄Q,C是Q内异于A和B的动点，口FC丄AC.那么，动点C在平血Q内的轨迹是（）A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但耍去掉两个点。解析：“理论推导”就是根据条件进行线而关系的理论推证，这类问题主要考立体儿何的

3、基础知识。如本题主要是考三垂线定理。由条件易知是4C在而&上的摄影，因为PC丄AC,所以3C丄AC。则点C在面a上的轨迹是以为直径的圆周。但由于C是Q内异于A和B的点，则其轨迹要去除两点，因此正确答案为例3已知平而&//平而0,宜线/在a内，点Pg/,平而a,0间的距离为8,贝恠0内到点P的距离为10>1•到直线/的距离为9的点的轨迹是（）4一个圆B两条直线C四个点解析：如图，点P在而0上的摄彩为O,贝i」OP=8。在而0内到点P的距离等于10的点等价于到O的距离等于6的点，故点的集合是以O为圆心、6为半径的圆。在0内到宜线/的距离答应9的点的集合是两条平行

4、直线心，它们到点O的距离都等于792-82=V17<6,所以直线丹“均与这个圆相交，共有四个点，I大I此所轨迹是四个点，选C。三、定义考察例4（04北京理）如图，在止方体ABCD-中，P是侧hiBB}C}C内一动点,若P到直线BC与直线CXD｝的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线。解析「'定义考察”是熟练利川I员I锥曲线定义进行动点轨迹考查，因为许多立体儿何图形中的动点轨迹问题是有意与解析儿何交汇的。如木题即知点尸到的距离就是PC、,于是在侧而BBGC内点P到定点G与到定直线BC的距离相等，则由抛物线定义可知，点P的

5、轨迹为抛物线，选I）。例5已知分别为梯形ABCD的腰AB,CD的中点，ZABC=90°,AB=6,现将梯形沿EF折成直二面角A-EF-C,此时在血AEFD上有动点M,若M到AD的距离是M到BE距离的二倍，则点M的轨迹可以是下血哪条曲线的一部分（）解析：因A-EF-C为直二面和，则由条件可知BF丄面AEFD,・・・BE1ME,即ME为M到BE的距离。过M作M/V丄AZ）MF1于N,则何—由椭圆第二定义可知MN2点M的轨迹是椭圜，且由椭圆知识得c12,由此解得°一,从而b=・••椭圆方程为丄+2_=1，故选3。疋k=l43c=3四、坐标运算例6异面直线u,b所成

6、角为60°,它们公垂线段为EF,且EF=2,定长为4的线段AB两端分别在a,b上移动，试问线段AB的中点P的轨迹为何种曲线？解析：“朋标运算”是指用处标法来导求动点轨迹的方程，从而确定立体几何图形中的动点轨迹的曲线形状。显然此类问题更加强化了立体几何为解析几何的有机结合。点P的轨迹必在过EF的中点且平行于a,b的平面a内，现在a内过O分别作a'lla^b1Hb,在&上的摄影必落在/,/舁上，设为A-B-则乙4仙=60°,且A矽的中点必为AB的中点P。又AB=4,EF=2,:•aS=羽,=2a/3o于是问题转化为定长为2込的线段屮"的两端点分别在/,//上移动

7、时，求其屮点P的轨迹。以直线abf的两条角分线为处标轴建立平面直角处标系，如上图，设10屮1=加，空侖2£巧=-加n1>>0岛41-4IOB’l=n,再设P(x,y),则,B1~~n)»于是有+2y-2v将此式代入A'OB'屮的关系式m2+n2-m-n=2整理得F+9y2=9,这就是点P的轨迹方程，故其轨迹是椭恻曲线。