周松兵(论文)

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1、江西教育学院本科（脱产）毕业论文题目：系别：班级:专业：学号：学生姓名：指导教师：数形结合思想在中学数学中的应用【内容摘要】：数形结合，是求解数学问题的一种常用思维方法，是客观事物不可分割的两个数学表现，两者既是对立的又是统一的。它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，数形结合思想的应用形式大体可分为代数问题的几何解法与几何问题的代数解法两个方面，它渗透于中学数学教材之中。在学习数学中，若能根据内容特点适当将数形结合思想融于学习中，一方面可起到开阔思维、拓宽知识面、多途经解题之作用，另一方面也可提高学生对数形结

2、合法解题重要性的认识，更重要的是训练学生数形结合思维，使学生从多方位、多角度、多层次去考虑问题，培养他们迅速、灵活、深刻的分析问题、解决问题的能力。【关键词】：数形结合思想以形助数以数解形一、数形结合在代数式中的应用例1：试用儿何图形表示一个代数式(a+b)(a—b),并验证(a+b)(a~b)=a一圧的正确性。aad♦a+b►分析：将长为(日+方)，宽为(日一方)的长方形，剪卜宽为方的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系(日＞方＞0),如图2所示。(a-b)(a+b)=(图2)

3、利用图形面积的相等关系,进一步从儿何角度验证了平方差公式的正确性，渗透了数形结合的思想方法，让学生体会到代数与几何的内在联系.引导学生学会从多角度、多方面来思考问题。二、数形结合在列方程(组)解应用题中的应用例2：小明毎天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。(1)爸爸追上小明用了多长时间？(2)追上小明吋，距离学校还有多远？分析：当爸爸追上小明时，两人所行距离相等。在解决

4、这个问题时，要抓住这个等量关系。(画出线路图关系就很清楚了)80米/分x5分80米/分入家(丫J1学校Jy’180^/分乂岭迫及点图3爸爸走的路程二小明走5分钟的路程+小明走x分钟的路程二小明走的总路程；根据相等关系列一元一次方程，可得到爸爸追上小明用了4分钟。追上小明时，距离学校还有280米。列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列出方程，教学吋要突破这一难点，往往就要根拯题意画出相应的示意图.这里隐含着数形结合的思想方法，不论是行程问题、追击问题，还是工程问题、浓度问题等，只冇依据题意画出相应的示意图

5、，才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。三、数形结合在函数中的应用例3：已知二次函数y=ax2+hx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+cvO、②a-b+c>0、③abc>0>®c>-3a中正确的个数是()(A)4(B)3(C)2(D)1——分析：仔细观察抛物线的位置走向，关键点的位置处标，以及解析式屮各系数与图形性质的对应关系，再做出判断。由观察图形可知，当x=-l和x=l时，分别有y〉0和y<0,即q+/?+c<0,o-b+c>0,可得①、②正确。由抛物线开口向下，所以a<0,对称轴x=

6、=-1,所以有b=2°且2ab<0,又由于抛物线和y轴的交点在x轴的上方，所以c〉0则冇abc>0,即③止确。将b=2a代入①中可得到cv-3°,即④不正确。综上所述，应选(B)。我们教学时会发现图形的特征常常体现着数的关系，运用“数”的规律，数值的计算，就可以寻找出处理“形”的方法，来达到“数促形”的目的。例4：如图7所示，A、B两点在X轴上，且在原点0的右边，点A在点B的左边，经过A、B两点的(DC与Y轴相切于D(0,-3),已知AB=8,求经过A、B、D三点的抛物线的解析式。口：(图7〉分析：求经过A、B、

7、D三点的抛物线的解析式，须先求出A、B两点的坐标。连接CD,过点C作AB的垂线交AB于E,可得四边形CDOE是矩形，贝UCE二0D二3,0E二DC.再连接AC,可得AE二BE二-AB=4,则AC=732+42二5.所以0E二DC二AC二5,0A=5-4=l.因此A、B两点的坐标分别为(1,0)、(9,0).设所求抛物线的解析式为y=ax~+bx+c(dHO)・・[a+b+c=0*+9b+c=0AnzR_11°$解得a=~-，/?=—，c=-3c=—333・•・所求抛物线的解析式为）一£宀学-3由于在直角坐标系中，

8、有序实数对（X,y）与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图像来表示，而借助这个图像又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法，教学时老师若注重了数形结合思想方法，将会收到事半功倍的教学效果。例5：已知：如图8所示，在矩形ABCD中，以AB为直径作00切CD于F,