导数在研究函数中的应用论文

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1、丽水学院2012届学生毕业论文目录1导数的定义21.1导数的定义21.2导数的几何意义22导数在研究一元函数上的应用32.1利用导数知识描绘函数图象32.2利用导数证明不等式92.3泰勒公式在研究一元函数上的应用103导数在研究二元函数上的应用153.1二元函数的偏导数在几何上的应用163.2二元函数的偏导数在函数极值方面的应用173.3泰勒公式在研究二元函数上的应用21参考文献23致谢25导数在研究函数中的应用理学院数学082陆民明指导师：杜鸿摘要:导数是依照实际问题为背呆提出的概念。利用函数的导数可以用來研究两数，分析性质，诸如单调性、极值点、【叫凸性、函数的

2、渐进线、画图象等许多性质。木文着重阐述运用导数來研究一元函数、二元函数以及泰勒公式与函数的关系等，目的是可以为解决数学问题拓展新的思路，可以使有些数学问题得到简化。关键词：导数，一元函数，二元函数，泰勒公式，应用。引言微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。而导数作为微积分学屮最重要的基本概念之一，它反映了一个变量对另一个变量的变化率。导数的概念是从很多实际的科学问题抽象而产牛•的，有著广泛的应用意义。设函数y=f（x）在点兀°的某个邻域内有定义。如果极限lin）0=lim“mA）""）存在，则称函数f（x）在点兀

3、。处可导，并称此极限值心toAx山->oAx为函数/（兀）在点x0处的导数，记为广（兀0），即广（观）=lim型=lim/代卜心）•/（£））。导数是对函数图象与性质的总结与拓展，它山toAx山J》。Ax是研究函数单调性的重要工具，广泛应用在讨论函数图彖的变化趋势及证明不等式等方面。导数也是初等数学与高等数学的重要衔接点。另外，导数在经济学中的应用也越来越得到人们的重视，经济学中很多现象都可以用导数来分析，归纳到数学领域屮，用我们所学的数学知识进行解答。众所周知，导数的思想最初是法国数学家费马为解决极大、极小值问题而引入的。但导数作为微积分学中最主耍的概念，却是英

4、国数学家牛顿和徳国数学家莱布尼兹分別在研究力学和儿何学过程中建立的，包括在数学领域、物理研究及经济领域的广泛应用，这只是导数M用的一部分内容。然而要想应用导数解决好实际问题，关键是先将实际问题转化为数学问题，再通过对导数知识的熟练掌握和运川來解决实际问题，导数在各类题型屮的应川己越來越广泛了，已逐渐山解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。导数是依照实际问题为苗景提出的概念。利用函数的导数对以用来研究函数，分析性质,诸如单调性（[1],[10],[11]）、极值点（[1],[13]）、凹凸性（[1],[2],[3]）、函数的渐进线（[4],[5]

5、）、画图象（[8],[9],[15]）等许多性质。本文着重阐述运用导数来研究一元函数、二元函数以及泰勒公式（[16],[17],[18],[19]）等，目的是可以为解决数学问题拓展新的思路，可以使有些数学问题得到简化。1导数的定义1.1导数的定义设函数/（X）在点x0的某个邻域内有定义。如果极限lim=lim^（x（）+Ar）~^（xo）存在，则称函数/（对在点观处可导，并称此极限值心to2心-＞（）Ar为函数/（X）在点X。处的导数，记为广（兀0）,即广牝）=亦型=lim4吐心丄山T°心山T（）心左导数：厂⑴二lim冬二lim•心+心）一厲）=lim/⑴一念。）

6、x-＞（）一Ax山•-＞（）-Axa-＞x0-x-x（）右导数：厂（沪limQ=lim心心）7⑴=lim心心）心-＞（）♦Ar山t（tAr大-＞对x-xQfx）=Ao/_'（x）=//（%）=A可以证明：可导=＞连续即：町导是连续的充分条件连续是可导的必要条件导函数：/⑴=一恤乞=1曲心+山）一・心）。&-》0Ax心-》o心1・2导数的几何意义（图1）曲线y=/（x）在点兀处的导数f（人））在几何上表示为：曲线y=/（兀）在点AOodo）处切线的斜率。即/（x0）=tan^z（&是过A点的切线的倾斜角）（如图1）则，

7、11

8、线歹=于（兀）在点A（x0,y0）处切

9、线方程为：y-y0=/Uo）（x_%o）°2导数在研究一元函数上的应用2.1利用导数知识描绘函数图象函数图形的作法描绘图形的一般步骤如下：①确定两数的定义域、值域及函数初等形态（对称性、周期性、奇偶性）等；②求出/（%）,/（%）；③列表讨论函数单调性、凹凸性及极值、拐点；④确定曲线的渐近线；⑤山曲线方程找出—•些特殊点的处标；⑥用光滑曲线连接,画l\y=/U）的图象。在本节小，我们将利用函数的单调性，凹凸性和拐点，极值，渐近线等來较完善地描绘出函数的图象。函数的单调性：一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题。下面利川导数这

10、一工具來判