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1、§主卜充邑…空風向量与运用_（2L学习目标1.会求空间直线的方向向量，平面的法向量.2.会用向量法求空间角与证明空间的平行、垂直问题。学习过程一、课前准备（预习教材尸28〜巴0,找出疑惑之竺复习引入:1.人（兀］,）,可），〃（兀2』2，?2），则AB=（，，）I~AB1=2・空I'aJjRjft的坐标运算若m=（兀］,〉［,石）,色=（x2,>'2.z2）»则_（1）m±n=（,、）；/h•n=；（2）m=,cos-（3）加丄〃o3•共线向量定理：对平面任意两个向量^（^0）,a〃
2、&的充要条件是存在唯一实数久使f★ia=Ab•即设d=（兀］,X,zJ,b=（勺，％乂2），则二、新课导学「〜「探学习探究1：用向量求空间角1.异面直线所成的角：ABg6/;C,£>gZ?,则向量AB.CD分别为直线C方向向量,cos=ABCD,vAB,CD>所对应的锐角或直角即为直线所成的角。ABCD探典型例题例1：如图，已知直棱柱ABC-A
3、B
4、Ci，在4ABC中，CA=CB=1,ZBCA=90°,棱AA1=2,求异血宜线BAPCB】所成的角。2.线呼成的角：如图总线AP的射影
5、为A0,则ZP40为肓线AP与平曲Q的夹角，若7为平而Q的法向量，那么有sinZPA0=cosZAP0=。CiC探典型例题例2.棱长为a的正方体ABCD-AiBiCiDi中，E、F分别为CD、BG的中点,求点AJ）与平［ftlEFBD所成的角。3.二面角的求法:二而角a-l-B，平而兰®法向量加芒网0的法向量n,则二面角。一2—0平面角0满足&=或;r-v加,（即――m•nIcos&1=1cos1=11）。探典型例题例3.如图，平ifUABCD,AADE是等边三角形，ABCD
6、是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，EC与平面ABCD成30°的角。（1）求证：EG丄平而ABCD；⑵若AD=2,求二面角E-FG-G的度数；探学习探究2：用向量证明平行关系1.线线平行：若两直线/
7、>/2的方向向最分别为m-（兀］,『］,知）,兀=（兀2，『2忆2），则厶/〃2omHn0m=zl/7«—=—=—兀2)'252.线面平行：若直线/的方向向虽:为加=（兀1，）［,2］），平面Q的法向量为斤=（兀2』2忆2），则—*——*—Illa<=>m丄〃o加•〃=0oxAx2+）y2+知
8、乞=0。3.面面平行：若两面0、0的法向最分别为/7?二（Xj,）［,Z］）,7?=（x2,y9.zJ则，odl(3omHnm=An<=^—=—=—兀2$2S探典型例题例4.（2013.新课标。17）如图，直三棱^ABC-A^C^V，D,E分别是AB，BB］的中点，=AC=CB—ABAI)证明：BCJI平面2（II）求二而角D_A、C_E的正弦值。CB探典型例题例5.（2013.陕西.8）四棱柱ABCD~AlBlClDl的底ifij'ABCD是正方形,O为底面中心，久0丄平面A3CD,AB=AA
9、}=^.（I）证明：A/D//平面CD/i；II）求三棱柱ABD-A}B}D}的体积.探学习探究3：用向量证明垂直关系_1•线线垂直：若两直线厶、厶的方向向量分别为加=（兀］,〉,2］）,斤=（花，『2忆2），则右丄厶Oo2.线面垂直：若直线/的方向向最为加=0
10、,））,石），平面a的法向最为n=（兀2，儿忆2）则/丄aoo1.面面垂直：若两平面Q、0的法向量分别为万=（西,）1心）,；=（兀2，）”2）则，a丄Poo探典型例题例6（2013.北京」7）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//C
11、D,AB丄AD,CD=2AB,平面P4D丄底面ABCD,PA丄AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：(I)PA丄底而ABCD,(II)BE//平ffiPAD；(III)平面BEF丄平而PCDo探典型例题例7（2013.天津.17）如图，三棱柱ABC—A/C屮，侧棱A/丄底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A
12、Ci的中点.（I）证明EF//平面A
13、CD;（II）证明平jfllA
14、CZ）丄平面A.ABBx；（III）求肓线BC与平面A
15、CD所成角的正弦值.三、总结提升※自我
16、评价你完成本节导学案的情况为（）•A.很好B.较好C.一般D.较差探当堂检测（时量：15分钟）计分：1.如图,四棱锥P-ABCD中所有的棱长都相等。求：①二面角C-PD-B人小②设M、N分别为AD、PC小点，试求MN与底面AC及平面BDP所成的角③平面PAB与平面PCD所成二面角的人小2.四棱锥S—ABCD中，底iftlABCD为平行四边形，侧面SBC丄底面4BCD.己知ZABC=45°,AB=2fBC=2^2,SA=SB=迟.(I)证明SA丄BC；(II)求直线SD与平面SAB所成角的人小.1
