第3章空间向量与立几何§3.1空间向量及其运算

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1、第三章间向量与立体几何§3.1　空间向量及其运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　空间向量概念的应用　给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a、b满足

2、a

3、＝

4、b

5、，则a＝b；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=;④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析　①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不

6、是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同；与与的方向相同，模也相等，应有＝；④真命题．向量的相等满足递推规律；⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C.答案　C知识点二　空间向量的运算化简：（）()解方法一（）()=+=+++=（+）+（+）=+=0。方法二（）()=+=（）+（）=+=0。在四面体ABCD中，M为BC的中点，Q为△BCD的重心，设AB=bAC=cAD=d，试用b，c

7、，d表示向量，、，，和。解如图所示=+=db,=+=cb,=+=dc,16=(+)=(bd+cd)=(b+c2d),=+=d+,=d+(b+c2d)=(b+c+d).知识点三　证明共线问题　已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且=,=.求证：四边形EFGH是梯形.证明∵E、H分别是AB、AD的中点所以=,=,=-==()==（-）={-}=（）=,∴四边形EFGH是梯形.知识点四　证明共面问题正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A

8、1D1的中点.证明：向量，，是共面向量.16证明方法一如图所示.=++=+-=（）。由向量共面的充要条件知，，，是共面向量。方法二　连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG(如图所示)，则有FGDD1，BEDD1，∴FGBE.∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD.∴，，都与平面A1BD平行∴，，共面.知识点五　数量积的运算　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算（1）·;(

9、2)·;(3)·.解(1）·=·

10、

11、=

12、

13、·

14、

15、·cos<·>60°=,所以·=,（2）·=

16、

17、·

18、

19、·cos<,>=×1×1×cos0°=,所以·=,(3)·=·16=

20、

21、·

22、

23、·cos<,>=×1×1×cos120°=-，所以·=-，知识点六　数量积的应用　已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值．如图所示，设=a,=b,=c,则a·b=b·c=c·a=，

24、a

25、=

26、b

27、=

28、c

29、=1，=(a+b),=c-b,·=(a+b)

30、·{c-b}={a·c+b·c-a·b-

31、b

32、2}=×{+--1}=-,∴cos〈,〉===∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为.　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.证明如图所示，设=a，=b，=c，16则a·b=0，b·c=0，c·a=0，且

33、a

34、=

35、b

36、=

37、c

38、，而=+=+(+)=e+(a+b),=

39、-=b–a,=+=(+)+=(a+b)-c∴·={c+a+b}·(b–a)=c·(b–a)+(a+b)·(b–a)=c·b-c·a+(

40、b

41、2-

42、a

43、2·={c+a+b}–{a+b-c}=(

44、a

45、2+

46、b

47、2)-

48、c

49、2=0∴A1O平面BDG知识点七　空间向量的坐标运算　已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P点的坐(1)=();(2)=();解=（2，6，3），=（4，3，1）。（1）=()=(6,3,4)={3,,2},则P点的

50、坐标为{3，，2）.(2)设P（x,y,z）则，=（x–2,y+1,z–2）.又因为(-)=(3,,-2),所以x=5,y=,z=0,故P点坐标为（5，，0）.知识点八　坐标运算的应用　在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的中点，G16在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题．(1)求证：EF⊥B1C；(2)求