《论文_浅谈数形结合思想在函数教学中的渗透(定稿)》

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1、浅谈数形结合思想在函数教学中的渗透摘要：数形结合是数学教学中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、牛动化，能够变抽象思维为形象思维，有助丁•把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃血解，且解法简捷C关键词：渗透数形结合思想以形助数以数解形正文：著名数学家华罗庚认为“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。数形结合是指把代数式的粘确刻画与儿何图形的直观描述结合起来，使代数的问题儿何化或儿何的问题代数化，从而将抽象的思维与形象思维结合的-•种思想

2、方法，主要表现在用代数的方法解决儿何问题，或川儿何的方法解决代数问题，以及代数与儿何的综合问题解析。数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。数形结合方法是解决数学问题尤其是函数问题的一种虫耍方法，特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现。用图形可以使扌rt!象的数量关系变得直观形象；而一些图形的性质，又可以赋予其数量意义，通过数量的运算使问题得到解决。一、利川数形结合思想，基于图像进行函数性质研究。函数与其图像的数形结合浑然一体

3、.一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形乂可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很人的帮助.因此.函数及其图像内容突显了数形结合的思想方法.教学时我们应注亜数形结合思想方法的渗透，这样会收到事半功倍的效果.如学习二次函数的性质时，采用如下数形结合的思想，使抽彖的性质具体化，直观化，形彖化。解析式y=ax1y=ax2+ky=a(x—h)2y=3(x—h)2+ky=ax'+bx+c图彖(/J°uVjV■%r►■■■■■%:■■■■■•■•■■■•■■■■%■■■■•■•■•nn•■■■开口

4、方向a>0时，开口向上，（实线部分）；a〈0时，开口向下，（虚线部分）顶点(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)12a'4ac-b2)4a对称轴y轴y轴直线x二h直线x=h直线x-b2aa>0时a>0时a>0时a>0时a>0时y最小=0y戴小二ky最小二0y眾小二k4ac-b2y垃小4a最值a<0时a〈0时a<0时a<0时a<0时y最大二0y最大二ky最大=0y圮大二k4ac-b2yma4aa>0时,在对对称轴的左侧，y随x的增人而减小；在对称轴的右侧，y随x的增减性增大而减大。a>0时,在对对称轴的左侧，y随x的

5、增大而减小；在对称轴的右侧，y随X的增人而减人。二、运川数形结合思想，基于图象解决二次函数的实际问题。在数学的解题过程屮，我们经常会利川形来研究数，或者是利川数研究形，通过数和形相互转化我们常常能把数学问题化难为易，化抽彖为具体。如课本例题：问题：如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是-•条抛物线,如果不考虑空气阻力，球的E行髙度力（单位：m）与E行时间t（单位：s）之间具有关系力二20t-5f2考虑以下问题：（1）球的E行高度能否达到15m?如能，需要多少匕亍时间？（2）球的飞

6、行高度能否达到20m?如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m?为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？可川数來解决：即把函数转化为方程进行解答。同时也可以用形来解答：画出如下函数图象。更立观根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2+/?x+c=0的两个根.(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集.(3)写出y随兀的增大而减小的自变量x的取值范ffl・(4)若方程ax2^bx^c=k有两个不相等的实数根，求£的取值范围.由图就直接可进行解答以上问题。这就是数形结合带来的方便Z处。三、巧川数

7、形结合思想，基于图象解答屮考压轴题。中考数学压轴题屮很多都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方血可用代数方法研究几何图形的性质，另一方血又对借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是找到数与形的契合点，数形的契合点以等式方程为载体，图形的和似、全等、勾股定理、解直角三角形等是建立等式、方程的基础，灵活的采用儿何问题代数化，代数问题儿何化的数形结合思想，找出契合点。在数学教学中，突出数形结合思想，有利于学牛从不同的侧面加深对问题的认识和理解提供解决问题转化为数学问题的能力。如广东省201

8、2年中考压轴题：1,3如图，抛物线y=—r——兀—9与兀轴交于A、B两点，与y轴交于点C,连接BC、AC.22(1)求和OC的长；(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线/平行BC,交AC于点D.设4E的长为加，AAPE的面积为s,求$关于加的函数关系式，并写出自变量血的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接