《论文_电路论文(本科作业)(定稿)》

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非线性电路分析方法摘要：我要将电路元件的范围及其相应的分析方法进行拓展，引入对非线性二端元件的分析和总结。非线性二端元件就是接线端口变量和接线端的函数具有非线性关系的元件。下而对非线性电路的分析方法进行分类和总结：关键词：非线性电路直接分析法数值分析法图形分析法分段线性分析法小信号分析法0.引言到口前为止，我们已经学习过若干种线性元件的电路，也学习过这些元件构成的线性电路分析法。木文将就非线性问题进行分类和归纳总结。1•直接分析法此方法一般应用于对非线性二端元件的函数关系较简单吋使用，结合并运用线性元件电路的分析方法和一•些定理，同时列写出非线性的补充方程，最后通过求解数学问题并结合电路实际解答的方法。我们首先用直接分析法求解图1」所示的简单非线性电阻电路。假设图中非线性电阻的特性可衣示为下列v・i关系:阳心〉00,vD<0常熟K大于零。该电路的求解过程:补充方程：图1.1(vd-E)/R+iD=0h=f(1.1)(1.2) 注意该元件在％人于零的吋候才能工作。如果％<0则iD=0用原件的非线性V」关系替换式(1.1)屮的匚就得到了用节点电压表示的节点方程:(1.3)(1.4)(vD-E)/R+Kvd2=0化简式(1.3),得到下列二次方程：RK2+vD-E=0求出心并选择止解，BP：一1+J1+4RKEVD=d2RK对应的iD表达式可通过将上式替换式(1・2)得到，即:°I2RK小结：这类分析方法很有於限性，通常只适用勺Ji数关系较简单的非线性求解问题，对于较复杂的问题，下而我将讨论到。1•数值分析法当所求非线性的函数关系不是简单的函数关系时，已经不能用已有的公式去求解，这是就需要在谋差精度允许的范围内,运用计算方法学的知识寻求所需的解,下面介绍常用到的计算方法：《电路基理论础》中给出的3种方法:①前向欧拉法(ForwardEulermethod):(以后本论文均以乞=f(y,x)表示空)dxdx儿+】=几+h/(几，忑)其屮h为积分步长②fu向欧拉法(BackwardEulermethod)儿+】=h-+h/(儿+],兀如)③梯形法(trapezoidalmethod)儿+】=儿+°・5[/(儿，耳)+/(儿+|，和)]也就是我们所熟悉的梯形公式还有儿种常用的计算方法：④辛普森公式(Simpson)也作抛物线公式：)7+1=儿+门门儿，母•)+4门0.5(几+yk+J,0.5(^+畑)]+/(畑，无+】)}O⑤牛顿(Newton)法(也作切线迭代法)： 该公式多川于复杂的函数的求根运算，设y=/（兀）W+1“广（心）①拉格朗H差值n次型对于无法求出具体表达式的非线性函数，在己知图像上若干点的情况时，可以用n次多项式进行近似的拟合，我所学过的有丫顿型差值公式和拉格朗口型差值，下而只介绍拉格朗口型差值公式，牛顿型差值比较类似。心0丄2・・・n已知非线性图像上的n个点:（xo,yQ）,（x{,））），•••（xn,yn）l⑴=（x—兀（））・・・（兀一兀i）（兀一兀+］）・・・（兀一£）'（齐一兀（））・・・（兀一兀_|（兀一兀+】）・・・（兀一兀“）拉格朗日差值多项式:勺=yJoM+>7i（兀）+…+几⑴+…+ynln（兀）⑦龙格-库塔方滋千珞好苓狀予亍心壮1=呼（旺，儿）此为二阶龜及妍鯛+h,yn+kJ小结：运肖计算方法可以将复杂的计算和函数变成相对简单的运算。运用数值分析法解题的例子：如图2.1,设心顾，U严卩Sgcot,试分析写出川向前欧拉法，向后欧拉法和梯形法计算响应妙⑴的迭代公式，步长为hoLkIIS（t二0）C：o弘图2.1此题是我们的一道作业题，详解见《电路理论基础》（第三版）364页，这里就不多做解答To1•图形分析法许多非线性电路无法用直接分析法求解，而乂不需要具体的数据作支持时，通常我们需要在计算机上用尝试并求课差的方法求解这样的问题。这种解法可以提供答案，但通常不能 对电路的性能和设计给出深入的分析。另一方面，虽然图形法牺牲了一定的精度，但可得到对电路的深刻理解和认识。因此现在我用图解法解答图3」所示的电路。为了使问题具体化,我假设E=3V,R=500Q來确定冬,iD和vD。J-ER(3.1)(3.2)之前在1部分中我们已经得到了式子（1.1）和（1.2）,为了方便起见，进行少量变动后重写如下：星=人（严_1）O+E图3.1为了能够用图形法求解上述方程，我将其画在同一个坐标下，并寻求交点。假设已经获得了非线性函数的图形（如图3.2）,现在最简单的方法就是将式（3.1）所示的线性表达式画在这张图上，如图3.2所示。式（3.1）的线性约朿通常称为“负荷线”。 根据式(3.1)绘出的直线斜率为-1/R,与卩轴的交点为vd=Eo斜率的大小并不表示电阻对于该图的特殊值来说，从图中对以看出匚人约为5mA,%人约为0.6V。一旦我们知道匚是5mA,立刻就可以计算出:%=卅=5x1()7x500=2"从上血的讨论小可以看出，如果E增加为现在的3倍，则二极管的电压仅增加少量的数值，约为0.65V。这说明了从图形分析中可以得到对电路本质的认识。小结：这种图形法不仅能用于这道题的求解。对于包含任意电阻和电源，但只有一个非线性元件的电路来说，除那个非线性元件以外的其他电路元件都是线性的。因此，无论电路如何复杂，我们总可以利用戴维南定理将从非线性元件看过去的线性元件简化为图3」所示的形式。对于包含两个非线性元件的电路来说，这种方法的作川比较小了，因为它涉及到川一个非线性特性來描述另一•个非线性特性的问题。1•分段线性分析法0开关模型实际生产和应川屮，有些非线性的研究不可能或没必要达到百分之百的秸确，也找不出它的具体函数表达式，因此不能列写非线性电路方程，也就不能求解析解。这是可以采用分段线性分析法或折线法，在误差允许范围值和要求精度Z内我们可以将端口非线性关系在局部近似的看作线性的来处理，在每一个讨论的区间中进行线性分析，然后对所得出的解进行筛选和取舍。最常见的例子就是二极管的三种等效模型：0固定正向压降模型 S(t=0)图4.1在作题kl中也经常遇见这种方法，求解这类题kl一燉分过两个过程；首先确定动态路径,再次计算静态工作点，求解位于各段的响应，要川到分类讨论的思想。下面列举一道有关的例题：电路及非线性电阻的电压电流关系如图4」和图4.2所示，设C=1F,W(0_)=7V,[/=10VO画出t>0时的动态轨迹并求电压Ur。 图4.2解:.duc、厂％…、Ir=C==Cu(Us_uQ=_C—^(1)at,dtat”由式(1)可知，当和＞0时，叫v0,你单调减小；当"vO时，如＞0,棘单调增加。dtdt你(0」=/_々(°+)=3U，响应的初始点对应化。根据动态轨迹，分段计算如下：①AB段直线的方程为你=_g+4,由此一阶电路的三要素公式得：uRf)=4V,r=-sUr=Urp+[uR(0+)一uRp(0+)Kz/r=(4-ef)V(0v/vG设t=tA时，动态点运动到A点，即4—R=2,求得厶=In2u0.693s②OA段。时，你将位TOA段，对应直线方程uK=iRO线性等效电路可求解为：uR=2e-(f-fl)V(r〉rj5•小信号分析法小信号分析法也称增量分析法。在电子电路的许多应用场合中，非线性元件仅在很小的电压电流范围内运行，比如在许多传感器和大多数音频放大器小。在这种情况下，需要确定一种分段线性的模型以确保能够在很窄的范围内获得很大的精度。这种很窄运行范围内线性化模型的过程被称作增量分析或者小信号分析。小信号分析的好处是小信号变量满足KVL,KCL以及窄范围内的线性v-i关系。我们将用二极管做例子进行小信号分析。假设希望确定图5」所示电路中二极管电流匚的值。该电路中有一个二极管和两个电压源。其中一个电压源匕具有固定值0.7V,而另一个△儿则是幅值为lmV的正弦电源。这种形式的输入(一个是DC值叠加一个小的随时间变化的成分)在实际情况中经常出现，因此碍要找到一种简单的方法來求解这种输入类型的响应。我们当然可以川直接分析方法求解，即:(0.7U+().()()1sin伽W)/畑-D(5.1)但这样会导致复杂的运算很难看出输出的形式。lD:o %"为图5.1我们放弃上述的直接分析方法，而是以稍微不同的方式來进行分析。显然，对于给定的输入来说，这种情况二极管仅在非线性卩-：特性曲线屮很有限的范围内运行。二极管上总有一个很大的正DC偏置电压（由％给定）。此外，山于有小信号△片叠加在DC输入电床上，因此二极管电路仅在匚附近很小的范围内变化（如图5」所示）。因此在二极管特性曲线的厶附近用直线段进行建模是一种合理的方法，即川图5.1屮与（％,厶）点相切的一小段直线来表示，而不考虑曲线的其余部分。泰勒级数展开：y=、f（x）=了（X。）+挙"兀一X』+（兀-X）+…（5.2）这是分析这个电路的数学原理。上企就是兀与y的函数赍系在点（Xr„/（XJ）附近展开的结果。对于我们的匚与％关系来说，有我们需要得到在（％,//其屮厶=/（%））点附近的展开。在这个例子中，电源电压％和Av,r［接加在二极管上，因此对应的二级管电压为5二％,Avd=纲of（vD）进行泰勒级数展开得到：（"%+・・・D|v.^D在二极管例子中，从数学上讲，敦们希望在（岭，厶丫点展开二极管方程用电路术语表示就是当电压vd=Vd+Avd施加在二极管上时（图5.1）计算响应匚。电流iD的形式为：iD=/D+iD于是用二极管参数来表示的在（X，匚）点对匚(5.3)(5.4)式（5.4）的泰勒级数展开并化简得到：Zz>=ls（ev^-）+（lsev^）［J_AV/）+l（J_）2（AV/））2+...］（55）7TH/•7TH现在如果假设在DCI作点（％,ID）上的偏移很小，因此Av。比起岭h來说很小（在这个例子屮，VTH的典型值为0.025V,给定的Av/;=0.001V）,我们可以忽略展开表达式方括号中的第二项和更高次数的项，因此得到匚二厶（界％_1）+（厶界％）［»-△%］（5.6）已知输出由DC成分ID和小扰动△匚组成。于是我们可以得到ID+=Is-1）4-{Isev^）［-?-Avd］（5.7）将对应的DC项和增暈项取等号得到V『H Id=2%-D，&d=（厶八％）7^-Avd（5.8）注意仅为DC输入电压％对应的DC偏置电流。由于工作点值厶和匕满足式厶=厶（界％_1）所示的二极管方程,因此式（5.8）等号成立。式（5.7）中消除了DC项以后就得到了式（5.8）所示的增量关系。因此如果A%足够小，则电压VD+Avd所示的电流将包含两项：一个大的DC直流电流厶和一个小的与△为成正比的电流。将该结果用图形进行解释是很有帮助的，如图（5.1）所示，式（5.7）表示DCT作点（%,匚）上曲线的切线。如果加入式（5.5）中被忽略的高次项（即二次项，三次项等）则可在更广的范围内改善其精度。/（%）关系直接得到小信号关系为:经过上述的数学证明，可以根据匚二a・dfdvDAz,dij推广到一般情况可定义在小信号模型下的劫态电阻，动态电容，动态电感分别为：r二Zr匕〃你小结：这种忽略了泰勒级数展开会高次缸貲彳呆留线性部分的近似，从几何意义上來讲,可以看作是在非线性图像上某点在微小波动范围内的切线的近似，其切线的斜率即为该点的动态电阻（如下图，（a）动态电阻，（b）动态电容，（c）动态电感） °Ucuc(b)动态电容参考文献[1]模拟和数字电子电路基&*li,AnantAgarwalJefferyH.Lang著，于歆杰朱桂萍刘秀成i杀,清华大学iii版社，2008年7刀。[2]电路理论基础（第三版），陈希有主编，高等教育出版社。[3]电路理论基础（第三版）教学指导书，陈希有主编，高等教育出版社。[41皋础电子技术，蔡惟铮王立欣编，高等教育出版社。[5J计算方法（第二版），张弛平高广宏李道华编，科学出版社。 非线性电路分析方法班级：0706101学号：1070610118姓名:赵乾鹏