2019-2020年高二数学归纳法及其应用教案 人教版

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1、2019-2020年高二数学归纳法及其应用教案人教版(一)知识归纳:数学归纳法是证明与正整数n有关的数学命题的一种重要方法,其证题程序是:①验证n取第一个值n0时结论正确;②假设时结论正确,证明当时结论也正确.如果①、②两个步骤都完成了,则可断定结论对的一切正整数都正确.实际上,中学所学的这种数学归纳法称第一数学归纳法.(二)学习要点:1.用数学归纳法证题要注意下面几点:①证题的两个步骤缺一不可,要认真完成第一步的验证过程;②成败的关键取决于第二步对的证明:1)突破对“归纳假设”的运用;2)用好命题的条件;3)正确选择与命题有关的知识及变换技巧.

2、2.中学教材内,用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等,要积累这几种题型的证题经验.3.必须注意,数学归纳法不是对所有“与正整数n有关的命题”都有效.【例1】用数学归纳法证明下述等式问题:(Ⅰ).[证明].当时,左边,右边,∴左边=右边,时等式成立;.假设时等式成立,即,∴当时,左边=右边,即时等式成立,根据,等式对都正确.(Ⅱ).[证明].当时,左边右边,等式成立;.假设时等式成立,即,∴当时,左边=+右边,等式也成立;由知等式对都成立.【评析】等式问题是比较基本的问题,的证明的技巧一般都不高,而且在高考

3、中出现得不多.【例2】用数学归纳法证明下述整除问题:(Ⅰ)求证:能被6整除.[证明].当时,13+5×1=6能被6整除,命题正确;.假设时命题正确,即能被6整除,∴当时,,∵两个连续的整数的乘积是偶数,能被6整除,能被6整除,即当时命题也正确,由知命题时都正确.(Ⅱ)求证:被133整除.[证明].当n=1时,113+123=1331+1728=3059=133×23能被133整除,∴当n=1时命题正确;.假设当时命题正确,即能被133整除,时,能被133整除,即当时命题也正确;由知命题对都正确.[评析]在高考难度范围内,整除问题并不多见,如果与正

4、整数n有关的整除问题,在教材的范围内一般只有用数学归纳法解决,在的证明过程中应首先考虑拼凑出“归纳假设”,然后再想办法证明剩余部分.【例3】已知n个圆中每两个圆相交于两点,且无三圆过同一点,用数学归纳法证明:这n个圆将平面划分成块区域.[证明].当时,1个圆将平面分成2部分,而2=12-1+2,∴当n=1时命题正确;.假设时命题正确,即满足条件的个圆将平面划分成部分,∴当时,平面上增加了第个圆,它与原来的个圆的每一个圆都相交于两个不同点,共个交点.而这个点将第个圆分成段弧,每段弧将原来的一块区域隔成了两块区域,∴区域的块数增加了块,∴个圆将平面划

5、分成的块数为,时命题也正确,根据知命题对都正确.[评析]用数学归纳法证明几何问题是教材中一种题型,但由于这种题型的证明主要是文字推理为主,在评分上不好把握,因此考试中很难见到这种题型.【例4】用数学归纳法证明下述不等式;(Ⅰ)[证明].当n=2时,左边,∴当n=2时,不等式正确;.假设当不等式正确,即,∴当时,左边,∴当时不等式也正确;根据知对,且,不等式都正确.(Ⅱ)[证明].当时,左边=右边,时不等式正确;.假设当时不等式正确,即,∴当时,左边右边,∴当时不等式也正确;根据知对,不等式都正确.(Ⅲ).[解析]记,.当时,,∴当时,不等式正确;

6、.假设时不等式正确,即,当时,∵而,而,,即时不等式正确;根据知对,不等式正确.[评析]用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式,是数学归纳法学习重点,也是考试中的重点题型之一,在的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧,有时有一定的难度,不过必须注意,不是所有的与正整数n有关的不等式证明都能用数学归纳法证明成功.【例5】解答下述问题:(Ⅰ)若数列的前n项和Sn与an满足关系:,求证:为等差数列.[证明]用数学归纳法证明:.当时,,,即成等差数列,命题正确;.假设时成等差数列,且公差为d,②①当时,,①—②得,,成等差数列(公差为d),即时命

7、题成立,由、知成等差数列.(Ⅱ)数列和分别是等比数列和等差数列,它们的前四项之和分别是120和60,而第二项与第四项之和分别是90和34.≠集合,求证:B.[证明]设的公比为q,的公差为d,(易知由条件得;而;≠∵B对任意正整数n,都存在整数m使,对n用数学归纳法证明:当时,,时命题正确;假设当时命题正确,即存在整数使,时,,≠为整数,∴当时命题成立,B[评析]例5是两个与正整数n有关的命题,也可以不用数学归纳法证明,因此考试中要迅速作出抉择是否用数学归纳法证明.数学归纳法《训练题》1.已知n为正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设为偶数)时命题为

8、真,则还需要用归纳假设再证()A.时等式成立B.时等式成立C.时等式成立D.时等式成立2.设,则()A.B.C.D.3.用数学归纳法证明

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