2020高考数学刷题首选卷 第六章 立体几何 考点测试48 立体几何中的向量方法 理（含解析）

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1、考点测试48　立体几何中的向量方法高考概览考纲研读1．理解直线的方向向量与平面的法向量2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用5．能用向量法解决空间的距离问题一、基础小题1．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则(　　)A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确答案　C解析　因为cos〈n1·n2〉

2、＝≠0且cos〈n1，n2〉≠±1，所以α，β相交但不垂直．2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　)A．B．C．D．3答案　B解析　两平面的一个单位法向量n0＝，故两平面间的距离d＝

3、·n0

4、＝．3．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°答案　A解析　因为cos〈m，n〉＝－，所以l与α所成角θ满足sinθ＝

5、cos〈m，n〉

6、＝，又θ∈，所以θ＝30°．4．如

7、图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)A．B．C．D．答案　A解析　不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2．故O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，所以＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)，所以cos〈，〉＝＝＝．所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为．故选A．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　)A．B．C．D．答案　B解析　设正方体的棱长为2，以D

8、为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝．6．已知向量A＝(2，2，1)，A＝(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量是(　　)A．，－，B．－，，－C．±，－1，1D．±，－，答案　D解析　设平面ABC的一个法向量是n＝(x，y，z)，则取z＝1，得x＝，y＝－1．则n＝，－1，1，

9、n

10、＝，故平面ABC的单位法向量是±，－，．故选D．7．如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2．∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A－BC－

11、D的大小为(　　)A．B．C．D．答案　B解析　二面角A－BC－D的大小等于AB与CD所成角的大小．＝＋＋，而2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2

12、

13、

14、

15、cos〈，〉＋2

16、

17、

18、

19、cos〈，〉＋2

20、

21、

22、

23、cos〈，〉＝2＋2＋2＋2

24、

25、

26、

27、cos〈，〉，即12＝1＋4＋9＋2×2cos〈，〉，∴cos〈，〉＝－，∴与所成角为，即二面角A－BC－D的大小为π－＝．故选B．二、高考小题8．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)A．B．C．D．答案　C解析　以D为坐标原点，，

28、，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1，)，D1(0，0，)，所以＝(－1，0，)，＝(1，1，)，因为cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C．9．(经典江西高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝11，AD＝7，AA1＝12．一质点从顶点A射向点E(4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i－1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i＝2，3，4)，L1＝AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图

29、形是(　　)答案　C解析　由对称性知质点经点E反射到平面ABCD的点E1(8，6，0)处．在坐标平面xAy中，直线AE1的方程为y＝x，与直线DC的方程y＝7联立得F．由两点间的距离公式得E1F＝，∵tan∠E2E1F＝tan∠EAE1＝，∴E2F＝E1F·tan∠E2E1F＝4．∴E2F1＝12－4＝8．∴＝＝＝＝．故选C．10．(2015·四川高考)如右图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．答案　解析　建立

30、空间直角坐标系，转化为向量进行求解．以AB，AD，AQ所在直线分别