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《2020高考数学一轮复习 课时作业46 立体几何中的向量方法 理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时作业46 立体几何中的向量方法[基础达标]1．[2018·江苏卷]如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．解析：本题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}为基底，建立空间直角坐标系O－xyz.因为AB＝AA1＝2，所以A(0
2、，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．(1)因为P为A1B1的中点，所以P，从而＝，＝(0,2,2)，故
3、cos〈，〉
4、＝＝＝.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此＝，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取n＝(，－1,1)．设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，则sinθ＝
5、cos〈，n〉
6、＝＝＝，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.2．[2019·郑州一中入学
7、测试]在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平在ABCD，∠ABD＝，AB＝2AD.(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；(2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值．解析：(1)在△ABD中，∠ABD＝，AB＝2AD，由余弦定理，得BD＝AD，从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，所以△ABD为直角三角形且∠ADB＝90°.因为DE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DE⊥BD.又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.(2)由(
8、1)可得，在Rt△ABD中，∠BAD＝，BD＝AD，又由ED＝BD，设AD＝1，则BD＝ED＝.因为DE⊥平面ABCD，BD⊥AD，所以可以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示D－xyz.则A(1,0,0)，C(－1，，0)，E(0,0，)，F(0，，)，所以＝(－1,0，)，＝(－2，，0)．设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得n＝(，2,1)，为平面AEC的一个法向量．因为＝(－1，，)，所以cos〈n，〉＝＝.所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.3．[20
9、19·石家庄摸底考试]如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点．(1)求证：BF∥平面ADP；(2)求二面角B－DF－P的余弦值．解析：(1)取PD的中点为G，连接FG，AG，如图所示，∵F是CE的中点，∴FG是梯形CDPE的中位线，∵CD＝3PE，∴FG＝2PE，∵FG∥CD∥AB，AB＝2PE，∴AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，∴BF∥AG，又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，∴
10、BF∥平面ADP.(2)解法一 ∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥DC，且PD∩CD＝D，∴AD⊥平面CDPE.过点B作BM⊥CD于点M，易知BM∥AD，∴BM⊥平面CDPE.令PE＝1，则BM＝DM＝2，连接FM，由(1)易得FM＝1，如图，过点M作MN⊥DF交DF于点N，连接BN，则∠BNM为所求二面角的平面角的补角．∵DM＝2，FM＝1，∴DF＝，则MN＝.∴tan∠BNM＝＝，则cos∠BNM＝，∴二面角B－DF－P的余弦值为－.解法二 ∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥DC，且PD∩DC＝D，∴AD⊥平面CDPE
11、.以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，设PE＝1，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，P(0,0，2)，E(0,1,2)，F(0,2,1)，∴＝(2,2,0)，＝(0,2,1)，设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝－1，则x＝1，z＝2，∴n＝(1，－1,2)，为平面BDF的一个法向量．∵平面PDF的一个法向量为＝(2,0,0)，且二面角B－DF－P的平面角为钝角，∴二面角B－DF－P的余弦值为－
12、cos〈，n〉
13、＝－.4
14、．[2019·唐山模拟]如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD，E是PB的中点．(1)求
