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《2011高考数学一轮复习课件:立体几何中的向量方法(理).ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七节立体几何中的向量方法(理)一、平面的法向量1.所谓平面的法向量,就是指所在的直线与的向量,显然一个平面的法向量有多个,它们是向量.平面垂直无数共线唯一的2.在空间中,给定一个点A和一个向量a,那么以向量a为法向量且经过点A的平面是.二、利用向量求空间角1.求两条异面直线所成的角设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则l1与l2所成的角θa与b的夹角〈a,b〉范围求法2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则sinθ==.3.求二面角的大小(1)若A
2、B、CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是的夹角(如图①).(2)设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是(如图②③).二面角的平面角的大小求平面法向量的一般步骤是什么?提示:(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z);(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);(3)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.1
3、.已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.a∥c,b⊥cB.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥bD.以上都不对解析:∵c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),∴a∥c.又a·b=-2×2+(-3)×0+1×4=0,∴a⊥b.答案:C2.已知平面α内有一个点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是()A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)解析:由于n=(6,-
4、3,6)是平面α的法向量,所以它应该和平面α内的任意一个向量垂直,只有在选项A中,=(2,3,3)-(1,-1,2)=(1,4,1),·n=(1,4,1)·(6,-3,6)=0,所以点P在平面α内.答案:A3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°解析:cos〈m,n〉即〈m,n〉=45°,其补角为135°.∴两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.答案:C4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M
5、是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为________.解析:如图,建立直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),∴异面直线DB1与CM所成角的余弦值为答案:5.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AA1=2,则二面角C1-AB-C的余弦值为________.解析:如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),=设n=(x,y,z)为平面ABC1的法向量=(0,1,2)取m=(0,0,1),作为平面ABC的法向量.则∴二面角C1-AB-C的余弦值
6、为则取n=(-2,-1)答案:利用直线的方向向量和平面的法向量,可以判定直线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直.1.设直线l1的方向向量为u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为u2=(a2,b2,c2),则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R);l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.2.设直线l的方向向量为u=(a1,b1,c1),平面α的法向量为n=(a2,b2,c2),则l∥α⇔u⊥n⇔a1a2+b1b2+c1c2=0;l⊥α⇔u∥n⇔
7、(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R).3.设平面α的法向量为n1=(a1,b1,c1),平面β的法向量为n2=(a2,b2,c2),则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R);α⊥β⇔n1⊥n2⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证:(1)DE∥平面ABC;(2)B1F⊥平面AEF.利用向量法可以A为坐标原点,建立空间直
8、角坐标系.【证明】如图建立空间直角坐标系A-xyz,令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).(1)取AB中点为N,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),又NC在平面ABC内,故DE∥平面ABC.(2)=(2,-2,-2),=(2,2,0),=(-2)×2