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《2011高考数学一轮复习课件：立体几何中的向量方法(理).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七节立体几何中的向量方法（理）一、平面的法向量1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与的向量，显然一个平面的法向量有多个，它们是向量．平面垂直无数共线唯一的2．在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是．二、利用向量求空间角1．求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角〈a，b〉范围求法2．求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝=.3．求二面角的大小(1)若A
2、B、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是的夹角(如图①)．(2)设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是(如图②③)．二面角的平面角的大小求平面法向量的一般步骤是什么？提示：（1）设出平面的法向量为n=(x,y,z);(2)找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);(3)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.1
3、．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是()A．a∥c，b⊥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对解析：∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，∴a∥c.又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.答案：C2．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)解析：由于n＝(6，－
4、3,6)是平面α的法向量，所以它应该和平面α内的任意一个向量垂直，只有在选项A中，＝(2,3,3)－(1，－1,2)＝(1,4,1)，·n＝(1,4,1)·(6，－3,6)＝0，所以点P在平面α内．答案：A3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析：cos〈m，n〉即〈m，n〉＝45°，其补角为135°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.答案：C4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M
5、是AB的中点，则对角线DB1与CM所成角的余弦值为________．解析：如图，建立直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B1(1，1,1)，∴异面直线DB1与CM所成角的余弦值为答案：5．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，则二面角C1－AB－C的余弦值为________．解析：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，＝设n＝(x，y，z)为平面ABC1的法向量=（0，1，2）取m=(0,0,1)，作为平面ABC的法向量．则∴二面角C1-AB-C的余弦值
6、为则取n=（-2，-1）答案：利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直．1．设直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)；l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.2．设直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；l⊥α⇔u∥n⇔
7、(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．3．设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)；α⊥β⇔n1⊥n2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.利用向量法可以A为坐标原点，建立空间直
8、角坐标系.【证明】如图建立空间直角坐标系A-xyz，令AB=AA1=4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．(1)取AB中点为N，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，又NC在平面ABC内，故DE∥平面ABC.(2)＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)，＝(－2)×2
