2019年高考数学 专题03 利用导数研究函数的性质（第四季）压轴题必刷题 理

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1、专题03利用导数研究函数的性质第四季1．函数存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】∴故x=是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．∵函数f（x）=ax3+3x2-1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则即a2＞4得a＞2（舍）或a＜-2．②当a＞0时＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当＜x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．∵f（0）=-1＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上存在一个零点，此时不满足条件．综上可得：

2、实数a的取值范围是（-∞，-2）．故答案为：（-∞，-2）．2．函数，若与有相同值域，则实数的取值范围是________。【答案】【解析】由题知，，()，令，()，则，()，当时，，而，即，当时，，而，即，当时，，故在上单调递增，即在上单调递增。因为0，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得最小值为，故的值域为。因为与有相同值域，则要求的范围包含，且为正，所以，即.故答案为.3．已知函数f1（x）=﹣ax2，f2（x）=x3+x2，f（x）=f1（x）+f2（x），设f（x）的导函数为f′（x），若不等式f1（x）＜f′（x）＜f2（x

3、）在区间（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围为_____．【答案】【解析】f（x）=﹣ax2+x3+x2=x3+（1﹣a）x2，f′（x）=3x2+2（1﹣a）x，f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，即﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2恒成立，﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x，可化为（a+3）x+2（1﹣a）＞0，，解得﹣3≤a≤5①；3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2可化为2a＞﹣x2+2x+2，而﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3＜3，∴2a≥3，即②，由①②可得，∴实数a的取值范围是，故答案为．4．若，不等式恒成立

4、，则正实数的取值范围是_____.【答案】【解析】实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx0恒成立，即为（eλx）min≥0，设f（x）＝eλx，x＞0，f′（x）＝λeλx，令f′（x）＝0，可得eλx，由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，可得y＝eλx和y有且只有一个交点，设为（m，n），当x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x＝m处取得极小值，且为最小值．即有eλm，令eλm0，可得m＝e，λ．则当λ时，不等式eλx0恒成立．故答案为.5．已知函数的定义域为，，对，，则的解

5、集为___________．【答案】【解析】设，则，则等价于，又对任意，即在上单调递增，则的解集为，即的解集为，故答案为.6．已知函数关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是_____【答案】【解析】由，令，解得，令，解得，的递增区间为，递减区间为，故的最大值是，时，时，且，故在时，，在时，，函数的图象如图，①时，由不等式得或，而时无整数解，的解集为，整数解有无数多个，不合题意；②时，由不等式得解集为，整数解有无数多个，不合题意；③时，由不等式，得或，的解集为无整数解，只需的解集整数解只有一个，且在上递增，在递减，而，这一正整数只能为3，，，综上所述，

6、的取值范围是，故答案为.7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线﹣t2y2＝1（t∈[2，3]）的右焦点为F，过F作双曲线的渐近线的垂线，垂足为H，则△OFH面积的取值范围为_____．【答案】【解析】在双曲线中，，右焦点为，渐近线方程为，，，面积，，令，解得当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，，，，故面积的取值范围为，故答案为.8．已知函数f（x）＝k（x﹣lnx）+（k∈R），如果函数f（x）在定义域内只有一个极值点，则实数k的取值范围是_____．【答案】【解析】函数，，令，解得或，令，可得，可得时，函数取得极小值，，可得时，令，没有根，此时

7、函数只有一个极值点1；时,有根，但不是极值点，此时函数也只有一个极值点1,满足题意；时，有解，函数有两个或三个极值点，不满足条件，舍去，综上所述，实数的取值范围是，故答案为.9．是定义在上的函数,其导函数为．若，则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为_________．【答案】不等式的解集为，故答案为.10．设函数,若函数有6个不同的零点,则实数的取值范围是_________________.【答案】【解析】已知函数对其求导得,令求得当时,,即函数在上单调递增,且恒成立当时,函数在上单调递减当时,函数在上单调递增,故,又因为在上,存在x使得，所以当直线与有

8、三个交点时，由题意知，有6个不等的实数根，设则关于t