2019届高考数学二轮复习 第二篇 考点七 选考模块 考查角度1 坐标系与参数方程突破训练 文

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1、考查角度1　坐标系与参数方程　　分类透析一　方程互化与相交弦长问题例1(河北衡水中学2018届高三数学复习题)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=3cosφ,y=3+3sinφ(φ为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的普通方程;(2)直线l的极坐标方程是2ρsinθ-π6=43,射线OM:θ=5π6与圆C的交点为P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.分析(1)利用cos2φ+sin2φ=1消去φ即可.(2)先求出圆C的极坐标方程,再由直线l和圆C的极坐标方程得到P,Q

2、两点的极径,它们的差的绝对值就是线段PQ的长.解析(1)∵圆C的参数方程为x=3cosφ,y=3+3sinφ(φ为参数),又cos2φ+sin2φ=1,∴圆C的普通方程为x2+(y-3)2=9.(2)化圆C的普通方程为极坐标方程得ρ=6sinθ,设P(ρ1,θ1),则由ρ=6sinθ,θ=5π6得ρ1=3,θ1=5π6.设Q(ρ2,θ2),则由2ρsinθ-π6=43,θ=5π6得ρ2=4,θ2=5π6.∵θ1=θ2,∴

3、PQ

4、=

5、ρ2-ρ1

6、=1.方法技巧化曲线的参数方程为普通方程的方法有反解消参、平方

7、消参等,注意消参后变量的取值范围.化普通方程为极坐标方程,则需利用关系式x=ρcosθ,y=ρsinθ来转化.在极坐标系中求线段的长度、图形的面积等问题时,注意观察几何对象隐含的特点(如三点共线等),从而得到解决问题的合理方法.　　分类透析二　方程互化与参数几何意义的应用例2(福建省三明市第一中学2018届高三适应性试题)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=55t,y=9+255t(t为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.(1)求曲线C1的普

8、通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与C2交于A,B两点,点P的坐标为(0,9),求1

9、PA

10、+1

11、PB

12、.分析(1)消元法解出直线C1的普通方程,利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C2的直角坐标方程.(2)将直线C1的参数方程代入圆C2的直角坐标方程,并化简整理得关于t的一元二次方程,利用

13、t

14、的几何意义求解问题.解析(1)由曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ,即ρ2=8ρsinθ,得x2+y2=8y,故曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16.由曲线C1的参数方程为x=55t,

15、y=9+255t(t为参数),可得y-9=2x,即曲线C1的普通方程为2x-y+9=0.(2)显然点P在直线C1上,又直线C1的参数方程为x=55t,y=9+255t(t为参数),将其代入x2+(y-4)2=16中并化简,得t2+45t+9=0.设点A对应的参数为t1,点B对应的参数为t2,则t1+t2=-45,t1t2=9,从而1

16、PA

17、+1

18、PB

19、=1

20、t1

21、+1

22、t2

23、=

24、t1

25、+

26、t2

27、

28、t1t2

29、=-t1+(-t2)

30、t1t2

31、=459.方法技巧利用

32、t

33、的几何意义求解问题是解决直线上的定点与交

34、点问题的常规解法.注意

35、PA

36、=

37、t1

38、,

39、PB

40、=

41、t2

42、,要去绝对值符号,需判断交点与定点的位置关系,上方为正,下方为负.　　分类透析三　方程互化与最值问题例3(安徽省六安市第一中学2018届高三适应性试题)在直角坐标系xOy中,C1:x=t,y=k(t-1)(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C2:ρ2+10ρcosθ-6ρsinθ+33=0.(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程;(2)若P,Q分别为C1,C2上的动点,且

43、PQ

44、的最小值为2,求k的值.分析(1

45、)消去参数可得C1的普通方程;由互化公式可得曲线C2的直角坐标方程.(2)利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d,利用d-r=2即可得出.解析(1)由x=t,y=k(t-1)可得其普通方程为y=k(x-1),它表示过定点(1,0),斜率为k的直线.由ρ2+10ρcosθ-6ρsinθ+33=0可得其直角坐标方程为x2+y2+10x-6y+33=0,整理得(x+5)2+(y-3)2=1,它表示圆心为(-5,3),半径为1的圆.(2)因为圆心(-5,3)到直线y=k(x-1)的距离d=

46、6k+3

47、1+k

48、2,所以

49、PQ

50、的最小值为

51、6k+3

52、1+k2-1,故

53、6k+3

54、1+k2-1=2,得3k2+4k=0,解得k=0或k=-43.方法技巧求解与极坐标有关的问题的主要方法:(1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用;(2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解.使用后一种方法时,应注意若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.1.(2017年全国Ⅰ卷,文22改编)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cos