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《2019届高考数学二轮复习 第二篇 考点五 解析几何 考查角度1 直线与圆锥曲线的位置关系突破训练 文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、考查角度1 直线与圆锥曲线的位置关系 分类透析一 直线与圆锥曲线的位置关系问题例1已知直线x-2y+2=0与圆C:x2+y2-4y+m=0相交,截得的弦长为255.(1)求圆C的方程.(2)过原点O作圆C的两条切线,与抛物线y=x2相交于M,N两点(异于原点),证明:直线MN与圆C相切.(3)若抛物线y=x2上任意三个不同的点P,Q,R,满足直线PQ和PR都与圆C相切,判断直线QR与圆C的位置关系,并加以证明.分析(1)利用弦长的一半、半径、弦心距构成直角三角形及勾股定理求出圆C的半径;(2)由于切线过原点,
2、可设切线方程为y=kx,利用圆心到切线的距离等于圆的半径求k,再联立切线与抛物线方程,求出M,N两点的坐标,得出MN的方程,然后证明圆心C到MN的距离等于半径;(3)由三点在抛物线上,可设P(a,a2),Q(b,b2),R(c,c2),用a,b,c表示圆心C到直线QR的距离d,由直线PQ和PR都与圆C相切,得到a,b,c的关系式,再代入d,即可得直线QR与圆C相切.解析(1)∵圆心C的坐标为(0,2),∴圆心C到直线x-2y+2=0的距离为d=
3、0-4+2
4、12+(-2)2=255.∵截得的弦长为255,∴r2
5、=2552+552=1,∴圆C的方程为x2+(y-2)2=1.(2)设过原点O的切线方程为y=kx,即kx-y=0,∴
6、0-2
7、k2+(-1)2=1,解得k=±3.∴过原点O的切线方程为y=±3x.不妨设y=3x与抛物线的交点为M,则y=3x,y=x2,解得x=3,y=3或x=0,y=0(舍去),故M(3,3),同理可求得N(-3,3),∴直线MN的方程为y=3.∵圆心C(0,2)到直线MN的距离为1且圆C的半径为1,∴直线MN与圆C相切.(3)直线QR与圆C相切.证明如下:设P(a,a2),Q(b,b2),R
8、(c,c2),则直线PQ,PR,QR的方程分别为PQ:(a+b)x-y-ab=0,PR:(a+c)x-y-ac=0,QR:(b+c)x-y-bc=0.∵PQ是圆C的切线,∴
9、-2-ab
10、(a+b)2+1=1,化简得(a2-1)b2+2ab+3-a2=0. ①∵PR是圆C的切线,同理可得(a2-1)c2+2ac+3-a2=0. ②则b,c为方程(a2-1)x2+2ax+3-a2=0的两个实根,∴b+c=-2aa2-1,bc=3-a2a2-1.∵圆心到直线QR的距离为d=
11、-2-bc
12、(b+c)2+1=2+3-a2
13、a2-14a2(a2-1)2+1=a2+1a4+2a2+1=1,且圆C的半径为1,∴直线QR与圆C相切.方法技巧对于直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以借助代数法进行判断,而对于直线与圆的位置关系问题,则可以借助几何法进行判断. 分类透析二 直线与圆锥曲线的交点问题 例2已知抛物线C:x2=2y的焦点为F.(1)设抛物线上任意一点P(m,n),求证:以P为切点,与抛物线相切的切线方程是mx=y+n.(2)若过动点M(x0,0)(x0≠0)的直线l与抛物线C相切,试判断直线MF与直线l的位置关系,并予以证明.分
14、析(1)利用导数求出抛物线的切线(或把直线与曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,利用判别式等于0求出斜率;(2)分别求出直线MF与直线l的斜率,找出其斜率的关系,即可得解.解析(1)由抛物线C:x2=2y,得y=12x2,则y'=x,∴在点P(m,n)处切线的斜率k=m,∴切线方程是y-n=m(x-m),即y-n=mx-m2.又点P(m,n)是抛物线上的一点,∴m2=2n,∴切线方程是mx-2n=y-n,即mx=y+n.(2)直线MF与直线l的位置关系是垂直.证明如下:由(1)得,设切点为P(m,n
15、),则切线l的方程为mx=y+n,∴切线l的斜率k=m,点Mnm,0.又点F0,12,此时,kMF=12-00-nm=-m2n=-m2×12m2=-1m,∴k·kMF=m·-1m=-1,∴直线MF⊥直线l.方法技巧直线与圆锥曲线的位置关系问题可以转化为相应方程组的解来讨论,即联立方程组Ax+By+C=0,f(x,y)=0,通过消去y(或消去x)得到关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(ay2+by+c=0),然后进行讨论.这时要注意考虑a=0和a≠0两种情况,对双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况除a≠0,
16、Δ=0外,直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时,都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见,直线与圆锥曲线只有一个公共点,并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件. 分类透析三 弦长问题例3设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴为23,E上一点P到右焦点距离的最小值为1.(1)求椭圆E的方程;(2)过点(0,2)且倾斜角为60°的直线交椭圆
