10、2,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP与BQ的方程kx-y+12k+14=0,x+ky-94k-32=0,解得点Q的横坐标是xQ=-k2+4k+32(k2+1).因为
11、PA
12、=1+k2x+12=1+k2(k+1),
13、PQ
14、=1+k2(xQ-x)=-(k-1)(k+1)2k2+1,所以
15、PA
16、·
17、PQ
18、=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间-1,12上单调递增,12,1上单调递减,因此当k=1
19、2时,
20、PA
21、·
22、PQ
23、取得最大值2716.方法技巧本题在求最大值时,得到的结果是关于k的四次函数,可以通过求导找出要求的最值.一般情况下,若表达式不易转化为基本不等式或者二次函数模型,但易求其导数时,通常可以通过求导找出最值. 分类透析二 利用不等关系或均值不等式求最值 例2已知点P为椭圆E:x24+y22=1上的动点,点Q满足OQ=13OP.(1)求点Q的轨迹M的方程;(2)直线l:y=kx+n与M相切,且与圆x2+y2=49交于A,B两点,求△ABO面积的最大值(其中O为坐标原点).分析(1)设
24、P(x,y),Q(x0,y0),由已知找出坐标的关系,用相关点法求出轨迹方程;(2)由直线与椭圆相切,联立两个方程,消去y建立一元二次方程,通过判别式等于0,并结合题设条件建立有关参变量k,n的等量关系.求三角形的面积,可利用弦长公式求出底边的长,再利用点到直线的距离求出高,进而可以确定面积,然后利用均值不等式求其最大值.解析(1)设Q(x,y),P(x0,y0),由OQ=13OP,得(x,y)=13(x0,y0),则x0=3x,y0=3y.又点P(x0,y0)在椭圆E上,故(3x)24+(3y)22=1
25、,即点Q的轨迹M的方程为x249+y229=1.(2)直线l:y=kx+n与椭圆M:x249+y229=1相切,故由y=kx+n,x249+y229=1,得(18k2+9)x2+36knx+18n2-4=0.因为Δ=(36kn)2-4(18k2+9)(18n2-4)=4×18(4k2-9n2+2)=0,所以4k2=9n2-2(显然n≠0).因为点O到直线AB的距离d=
26、n
27、k2+1,所以
28、AB
29、=249-d2.因为4k2=9n2-2,所以n2≥29,所以d2=n2k2+1=49+2n2∈29,49,则S△
30、AOB=12·
31、AB
32、·d=12·249-d2·d=49-d2·d2≤29,当且仅当49-d2=d2,即d2=29时等号成立.所以△ABO面积的最大值为29.方法技巧解决圆锥曲线中的最值问题,一般有两种方法:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解;二是代数法,将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等,求解最大或最小值. 分类透析三 取值范围问题例3已知椭圆C:x2a2+
33、y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为12.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.分析(1)由焦点坐标知c=1,由离心率知a=2,进而可求得b2,得到椭圆方程;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为Q(x3,y3),讨论直线MN的斜率k,当斜率存在时,设出直线MN的方程,代入椭圆方程,由根与系数的关系,得到x3,y3与k的关系,再求出线段MN的垂直平分线,从而求出y0及其取
34、值范围.解析(1)依题意,得c=1.因为椭圆C的离心率为e=12,所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当MN⊥x轴时,显然y0=0.当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k≠0).由y=k(x-1),x24+y23=1,消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),则x1
