2019年高中数学 1.1.2余弦定理(二)课时作业 新人教A版必修5

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1、2019年高中数学1.1.2余弦定理(二)课时作业新人教A版必修5课时目标1.熟练掌握正弦定理、余弦定理;2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题.1.正弦定理及其变形(1)===2R.(2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C.(3)sinA=,sinB=,sinC=.(4)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.2.余弦定理及其推论(1)a2=b2+c2-2bccos_A.(2)cosA=.(3)在△ABC中,c2=a2+b2⇔C为直角;c2>a2+b2⇔C为钝角;c2

2、△ABC中,边a、b、c所对的角分别为A、B、C,则有:(1)A+B+C=π,=-.(2)sin(A+B)=sin_C,cos(A+B)=-cos_C,tan(A+B)=-tan_C.(3)sin=cos,cos=sin.一、选择题1.已知a、b、c为△ABC的三边长,若满足(a+b-c)(a+b+c)=ab,则∠C的大小为(  )A.60°B.90°C.120°D.150°答案 C解析 ∵(a+b-c)(a+b+c)=ab,∴a2+b2-c2=-ab,即=-,∴cosC=-,∴∠C=120°.2.在△ABC中,若2cosB

3、sinA=sinC,则△ABC的形状一定是(  )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案 C解析 ∵2cosBsinA=sinC=sin(A+B),∴sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,∴A=B.3.在△ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则这个三角形的最小外角为(  )A.30°B.60°C.90°D.120°答案 B解析 ∵a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,C为最大内角,则cosC==-.∴C=12

4、0°.∴最小外角为60°.4.△ABC的三边分别为a,b,c且满足b2=ac,2b=a+c,则此三角形是(  )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案 D解析 ∵2b=a+c,∴4b2=(a+c)2,即(a-c)2=0.∴a=c.∴2b=a+c=2a.∴b=a,即a=b=c.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若C=120°,c=a,则(  )A.a>bB.a

5、°=a2+b2+ab.∵c=a,∴2a2=a2+b2+ab.∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b.6.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定答案 A解析 设直角三角形三边长为a,b,c,且a2+b2=c2,则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0,∴c+x所对的最大角变为锐角.二、填空题7.在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的

6、两个根,C=60°,则边c=________.答案 解析 由题意:a+b=5,ab=2.由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,∴c=.8.设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边,那么a的取值范围是________.答案 20,∴a>,最大边为2a+1.∵三角形为钝角三角形,∴a2+(2a-1)2<(2a+1)2,化简得:02a+1,∴a>2,∴2

7、0°,则△ABC的周长是________.答案 12解析 S△ABC=AB·AC·sinA=AB·AC·sin60°=2,∴AB·AC=8,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=AB2+AC2-AB·AC=(AB+AC)2-3AB·AC,∴(AB+AC)2=BC2+3AB·AC=49,∴AB+AC=7,∴△ABC的周长为12.10.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,则△ABC外接圆的面积是________.答案 解析 S△ABC=bcsinA=c=,∴c=4,由余弦定理:a2=b2+c2-2bccos

8、A=12+42-2×1×4cos60°=13,∴a=.∴2R===,∴R=.∴S外接圆=πR2=.三、解答题11.在△ABC中,求证:=.证明 右边==·cosB-·cosA=·-·=-==左边.所以=.12.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边的长,cosB=,且·=-21.

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