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时间:2018-12-24
《高中数学 1.1.2 余弦定理习题 新人教a版必修5》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、余弦定理A组 基础巩固1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为( )A.90°B.120°C.135°D.150°解析:设长为7的边所对的角为θ,由已知条件可知角θ为中间角.∵cosθ==,∴θ=60°,∴最大角与最小角的和为120°.答案:B2.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为( )A.8-4B.1C.D.解析:∵C=60°,∴c2=a2+b2-2abcos60°,即c2=a2+b2-ab. ①又∵(a+b)2-c2=4,
2、∴c2=a2+b2+2ab-4. ②比较①②知-ab=2ab-4,∴ab=.答案:C3.△ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为,则其外接圆半径为( )A.B.C.D.解析:不妨设c=2,b=3,则cosA=,sinA=.∵a2=b2+c2-2bccosA,∴a2=32+22-2×3×2×=9,∴a=3.∵=2R,∴R===.答案:C4.△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则·的值为( )A.19B.14C.-18D.-19解析:由余弦定理的推论cosB==,又·=
3、
4、·
5、
6、·
7、cos(π-B)=5×7×=-19.答案:D5.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( )A.10B.9C.8D.5解析:先求出角A的余弦值,再利用余弦定理求解.由23cos2A+cos2A=0得23cos2A+2cos2A-1=0,解得cosA=±.∵A是锐角,∴cosA=.又∵a2=b2+c2-2bccosA,∴49=b2+36-2×b×6×,∴b=5或b=-.又∵b>0,∴b=5.答案:D6.在△ABC中,内角A,B,C所
8、对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,∠C=2∠B,则cosC=( )A.B.-C.±D.解析:由∠C=2∠B得sinC=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理得cosB===,所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2×2-1=,故选A.答案:A7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccosA+accosB+abcosC的值是________.解析:∵cosA=,∴bccosA=(b2+c2-a2).同理accosB=(a2+c2-b2),ab
9、cosC=(a2+b2-c2).∴bccosA+accosB+abcosC=(a2+b2+c2)=.答案:8.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cosC=,则sinB=________.解析:由余弦定理及题中条件可得cosC===,解得c=2,所以△ABC为以BC为底边的等腰三角形,故∠B=∠C,得cosB=.由同角三角函数的基本关系式可得sin2B=1-cos2B=,又因为∠B∈(0,π),可得sinB=.答案:9.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边长
10、,若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,求C的大小.解:由题意可知,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,于是有a2+2ab+b2-c2=3ab,即=,所以cosC=,所以C=60°.10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、c,tanC=3.(1)求cosC;(2)若·=-且a+b=9,求c.解:(1)∵tanC=3,∴=3,又∵sin2C+cos2C=1,∴cosC=±.又∵tanC>0,∴C为锐角.∴cosC=.(2)∵·=-,∴·=.∴abcosC=.又∵co
11、sC=,∴ab=20.∵a+b=9,∴(a+b)2=a2+2ab+b2=81,∴a2+b2=41.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=41-2×20×=36,∴c=6.B组 能力提升11.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若∠C=120°,c=a,则( )A.a>bB.a12、________,AC的取值范围为________.解析:设∠A=θ⇒∠B=2θ.由正弦定理得=,∴=1⇒=2.由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.又0°<180°-3θ<90°⇒30°<θ<60°.故30°<θ<45°⇒
12、________,AC的取值范围为________.解析:设∠A=θ⇒∠B=2θ.由正弦定理得=,∴=1⇒=2.由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.又0°<180°-3θ<90°⇒30°<θ<60°.故30°<θ<45°⇒
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