2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程学案 苏教版选修1 -1

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1、2.4.1　抛物线的标准方程学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题.知识点　抛物线的标准方程思考1　在抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？答案　p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线方程中一次项决定开口方向.思考2　已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？答案　一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上.若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上.焦点确定，开口

2、方向也随之确定.梳理　抛物线的标准方程有四种类型图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦点坐标准线方程x＝－x＝y＝－y＝1.抛物线y2＝2x(p>0)的焦点坐标为(1,0).(　×　)2.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.(　×　)3.抛物线的方程都是y关于x的二次函数.(　×　)4.方程x2＝2py是表示开口向上的抛物线.(　×　)类型一　求抛物线的标准方程例1　分别根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)；(2)

3、准线方程为y＝；(3)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5；(4)过点A(2,3).考点　抛物线的标准方程题点　求抛物线方程解　(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且－＝－2，则p＝4.所以所求抛物线的标准方程为x2＝－8y.(2)因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴上面，且＝，则p＝.所以所求抛物线的标准方程为x2＝－ y.(3)由焦点到准线的距离为5知，p＝5.又焦点在x轴负半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y2＝－10x.(4)由题意知，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0).将点A(2,3)的坐标代

4、入，得32＝m·2或22＝n·3，∴m＝或n＝.所以所求抛物线方程为y2＝x或x2＝y.反思与感悟　求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).跟踪训练1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上，且焦点在坐标轴上；(3)焦点到准线的距离为.考点　抛物线的标准方程题点　求抛物线方程

5、解　(1)方法一　∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).把点(3，－4)分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.方法二　∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)或x2＝by(b≠0).把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.(2)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15，∴抛物

6、线的焦点坐标为(0，－5)或(－15,0).∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.(3)由焦点到准线的距离为，得p＝，故所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－2x或x2＝2y或x2＝－2y.类型二　求抛物线的焦点坐标及准线方程例2　已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程：(1)y2＝－6x；　(2)3x2＋5y＝0；(3)y＝4x2；　(4)y2＝a2x(a≠0).考点　抛物线的标准方程题点　抛物线方程的应用解　(1)由方程y2＝－6x知，抛物线开口向左，2p＝6，p＝3，＝，所以焦点坐标为，准线方程为x＝

7、.(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－ y，知抛物线开口向下，2p＝，p＝，＝，所以焦点坐标为，准线方程为y＝.(3)将y＝4x2变形为x2＝ y，可知抛物线开口向上，2p＝，p＝，＝，所以焦点坐标为，准线方程为y＝－.(4)由方程y2＝a2x(a≠0)知，抛物线开口向右，2p＝a2，p＝，＝，所以焦点坐标为，准线方程为x＝－.引申探究若将本例(4)中条件改为y＝ax2(a≠0)，结果又如何？解　y＝ax2可变形为x2＝ y，所以焦点坐标为，准线方程为y＝－.反思与感悟　如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判

8、断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.跟踪训练2　若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为_____