2019年高三数学一轮复习 6.4基本不等式精品试题

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1、2019年高三数学一轮复习6.4基本不等式精品试题一、选择题(每小题5分,共40分)1.(xx·杭州模拟)若a,b∈R且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　)A.a+b≥2B.+>C.+≥2D.a2+b2>2ab【解析】选C.因为ab>0,所以>0,>0.由基本不等式得+≥2,当且仅当=,即a=b时等号成立.故选C.【加固训练】设0

2、a<<0时,函数f(x)=有(　　)A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值2【思路点拨】利用x>0将函数分子、分母同除以x后利用基本不等式可解.【解析】选B.由x>0得f(x)==≤=1,等号成立条件是x=1.4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是(　　)A

3、.B.C.D.【思路点拨】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1,故ab≤=.5.(xx·台州模拟)已知a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项,则的最小值为(　　)A.B.C.2D.4【解析】选B.由已知可得2a+b=4,因此4≥2,所以00,b>0,a+b=2,则+的最小值是(　　)A.B.4C.D.5【解析】选C.由已知可得+=·=+++2≥+2=,当且仅当a=,b=时取等号,即+的最小值是.7.若a>0

4、,b>0,且a+b=1,则ab+的最小值为(　　)A.2B.4C.D.2【思路点拨】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.【解析】选C.由a+b=1,a>0,b>0得2≤a+b=1,所以≤,所以ab≤.令ab=t,则0

5、号,故3x+4y的最小值是5.【误区警示】本题在求解中容易出现的错误是:对x+3y运用基本不等式得到的范围,再对3x+4y运用基本不等式,然后通过不等式的传递性得到3x+4y的最值,忽视了基本不等式中等号成立的条件,没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致,从而导致错误.【方法技巧】妙用“1”的代换求代数式的最值　　在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换,即由已知条件得到某个式子的值为常数,然后将欲求最值的代数式乘上常数,再对代数式进行变形整理,从而可利用基本不等式求最值.二、填空题(每小题5分,共20分)9.已知x<,则

6、函数y=4x-2+的最大值为　　　　　　.【解析】因为x<,所以5-4x>0,所以y=4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.答案:110.(xx·济南模拟)若点A(1,1)在直线mx+ny-2=0上,其中mn>0,则+的最小值为　　　　　　.【解析】因为点A(1,1)在直线mx+ny-2=0上,所以m+n=2.又mn>0,则+==≥2,当且仅当m=n=1时等号成立.答案:2【加固训练】(xx·济宁模拟)函数f(x)=ax-1+3(a>0,且a≠1)的图象过一个定点P,且点P在直线mx+ny-1=0(m>0,

7、n>0)上,则+的最小值是(　　)A.12B.13C.24D.25【解析】选D.函数f(x)=ax-1+3恒过点P(1,4),所以m+4n-1=0,m+4n=1.所以+=(m+4n)=1+++16≥25.当且仅当=,即m=n=时等号成立,故选D.11.(xx·衢州模拟)已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值等于　　　　　　.【解析】由于a>0,b>0,所以不等式可化为m≤(2a+b)·,而(2a+b)=4+++1≥5+2=9,当且仅当=,即a=b时(2a+b)取最小值9,所以不等式恒成立时