2019-2020年高中数学选修本(理科)函数的极值

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1、2019-2020年高中数学选修本(理科)函数的极值●教学目标(一)教学知识点1.极大值的定义和判别方法.2.极小值的定义和判别方法.3.极值的概念.4.求可导函数f(x)的极值的步骤.(二)能力训练要求熟练掌握求可导函数的极值的步骤，灵活应用.(三)德育渗透目标1.培养学生的应用能力.2.培养学生的推理能力.●教学重点极大、极小值的判别方法，求可导函数的极值的步骤的灵活掌握.●教学难点求可导函数的极值.●教学方法讲练结合，以练为主.通过学习对求可导函数的极值的训练，熟练掌握解题的步骤.●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］我们上节课学习了函数的极值，如何判别f(x0)是极大值还是极小值.

2、［生］当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大值或极小值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.［师］那么求可导函数f(x)的极值的步骤呢？［生］求可导函数f(x)的极值的步骤是：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正

3、，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值.［师］回答得很好.看来同学们已基本上掌握了.我们这节课还是再来看一些有关极值的题目，巩固一下.Ⅱ．例题讲解1.对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的(C)A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件［生］答案是充要条件.由极大、极小值的判别方法可以知道是充分条件.由极大值点的定义，任意x＜x0，f(x)＜f(x0).所以左侧是增函数，所以f′(x)＞0，任意x＞x0，f(x)＜f(x0).所以右侧是减函数，所以f′(x)＜0，所以x0两侧的导数异号，当x

4、0是极小值时，同样可以证明.(板书)2.下列函数中，x=0是极值点的函数是(B)A.y=－x3B.y=cos2xC.y=tanx－xD.y=［师］做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？［生］不需要，因为它只要判断x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否异号就可以了.［生］y=－x3，∵y′=(－x3)′=－3x2当x＜0或x＞0时，y′＜0∴x=0不是极值点.(板书)［生］y=cos2x.∵y′=(cos2x)′=2cosx(－sinx)=－sin2x.当x＜0时，－sin2x＞0，y′＞0.当x＞0时，－sin2x＜0，y′＜0.∴x=0是y=cos2x的极大

5、值点.(板书)［生］y=tanx－x，y′=(tanx－x)′=－1当x＜0或x＞0时，0＜cos2x＜1，∴y′＞0.∴x=0不是极值点.(板书)［生］y=.y′=()′=－当x＜0或x＞0时，y′＜0，∴x=0不是极值点.(板书)3.下列说法正确的是(C)A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若｜p｜＜，则f(x)无极值D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值［生］答案C.∵f(x)=x3+px2+2x+1.∴f′(x)=3x2+2px+2.∵Δ=4p2－4×3×2=4(p2－6)若｜p｜

6、＜.则Δ＜0，∴f′(x)=0无实根，即f′(x)＞0.∴f(x)无极值.(老师可板书)［师］那么A、B、D能举出反例来吗？［生］上黑板画图.A.a是极大值，b是极小值，但a＜b.B.c是最大值点，a是极大值点，但c点的函数值≠a点的函数值.D.y=tanx，x∈(0，).y无最大值.y也无最小值.图3—25图3—264.函数f(x)=asinx+sin3x在x=处具有极值，求a的值.［分析］∵f(x)在x=处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，f′()=0可求出a的值.解：f′(x)=(asinx+sin3x)′=acosx+cos3x∵f′()=0，∴a·cos+cos3

7、×=0，a－1=0，∴a=2.5.y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，求a、b的值.解：y′=(alnx+bx2+x)′=+2bx+1.∵y′｜x=1=0，y′｜x=2=0.∴6.确定函数y=的单调区间，并求函数的极大、极小值.(学生板演)解：y′=令＞0，解得－1＜x＜1.∴y=的单调增区间为(－1，1).令＜0，解得x＜－1或x＞1.∴y=的单调减区间为(－∞，－1)与(1，+∞).令y′==0，解得x1=－1，x2=1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表:∴