2019-2020年高中数学选修本(文科)杨辉三角2

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1、2019-2020年高中数学选修本(文科)杨辉三角2目的要求1．探索杨辉三角斜行的数字规律，并应用规律求一类数列的前n项和；2．探索杨辉三角与其他数学对象之间的联系，培养学生应用数学知识方法的能力。内容分析本节课的主要内容是继续研究杨辉三角的数字规律及其与其他数学问题之间的联系。1．从研究平行于杨辉三角形“两腰”的斜边上的数字规律的过程中，我们可以发现朱世杰恒等式：。这个规律其实是杨辉三角第三条基本性质的推广形式。应用朱世杰恒等式，可以求出的和式值。2．研究经过两数，或的斜边上的数字规律，可以得到著名的斐波那契数列。由斐波那契数列的通项公式，可得组合数的性质：，。3．将阶杨辉三角形中去掉所有的

2、偶数，剩下的图形类似于分形几何中的谢尔宾斯基三角形（如图），这种三角形是研究自然界大量存在的不规则现象（海岸线性状、大气运动、海洋湍流、野生生物群体涨落，乃至股市升降等）的崭新教学工具。4．教科书中的正六棱柱形木板滚球实验说明杨辉三角与概率统计之间存在联系。讲授时，老师应制作一个教具，并用16个小球。做实验若干次，然后引导学生挖掘实验结果与杨辉三角之间的关系，并用排列组合知识与概率知识加以解释。教学过程1．用电脑展示8阶杨辉三角图，以备用上节课主要是研究杨辉三角横行的数字规律，这节课首先来研究斜行的数字规律（如图）。 2．学生分小组研究，得出的结果可能是：（1）n阶杨辉三角形的第k+1条斜边上

3、的数（从左到右，从上到下）组成的数列是：。（2）上述数列的和为：。3．引导学生证明上述等式，并介绍有关朱世杰研究上述组合数恒等式的情况（1）证明过程：（2）朱世杰问题（如象招数问题）：以立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，…，今招十五日，…，问招兵…几何？用数列语言来说就是：第k日招兵，共招n日，一共招兵多少？问题可转化为求和：∵∴。4．引导学生观察8阶杨辉三角表。研究图中标出的斜行各数之间的关系（1）将各斜边的数字相加后按从上而下的顺序列出：1，1，2，3，5，8，13，21，34。（2）研究上述数列的规律后，可以猜测：无穷阶杨辉三角类似的数列为：（3）引导学生将表示成组合数的和，并证

4、明。，根据杨辉三角的基本性质3可以推出。（4）指出上述数列是斐波那契数列，该数列有广泛应用。5．观察下图15阶杨辉三角中，各小正三角形内的数有什么特点？并推广到阶杨辉三角中 （1）（自上而下）第k个正三角形内的数都是偶数，即都是偶数（k∈N*）。（2）第k个正三角形两腰外的第一条斜边上的数都是奇数，即都是奇数（k∈N*）。这条性质和上节课推出的性质“第行上的所有数中既有偶数也有非1的奇数”相吻合。（3）阶杨辉三角中，偶数与奇数，哪个更多？阶杨辉三角中，共有个奇数，共有个偶数（k∈N*），试比较与的大小（留课外思考）。6．演示实验教师或学生将16个均匀小球逐个平稳地放入如图的教具内。统计最后各个

5、矩形框内的小球个数。连续做三次实验，分析统计结果；并将结果推广到有n+1层的教具，个小球的情形，并给出合理解析。（1）设小球从第一层落入第n层下面的第k个矩形框的通道条数为F（n，k），则根据教具的对称性及小球的均匀性，可建立如下递推模式：F（1，1）=1，F（n，k）=F（n，n-k+1），F（n+1，k）=F（n，k-1）+F（n，k），k=1，2，…，n+1，规定F（n，0）=F（n，n+1）=0（n∈N*）。  类比杨辉三角形的基本性质：可猜测：。（可以用数列方法证明结论为真，留课后思考）故在理想状态下，个小球从第一层落到第n层，从左到右各矩形框内的小球个数分别为。（2）小球从某层落到

6、下层可看作进行一次随机试验，其中小球向左边落入的概率为。那么小球从第一层落到第n+1层可以看成是进行n次独立重复试验，小球最后落入第k个矩形框内可以看成是小球从左边落入恰好发生n-k+1次，其概率为。在大量重复试验下，统计规律为：个小球落到第n+1层的第k个矩形框内的小球个数为。7．小结杨辉三角奥秘无穷，只要大家从不同角度运用合情推理及逻辑推理的方法，一定会发现更多的规律，同时大家经常研究其他数学或生活实际问题，创造能力必将大大提高。有兴趣了解更多杨辉三角的内容的同学，可查阅华罗庚先生著的《从杨辉三角谈起》一书或上Internet网浏览。布置作业1．是否存在常数a、b、c，使得等式对一切正整数

7、n都成立，并证明你的结沦。2．将杨辉三角中的第n行第r个数换成，得到的三角形称为莱布尼茨三角形，这个三角形有些什么特点？写出一至两个规律。