2018-2019学年高中数学 第三章 统计案例学案 新人教A版选修2-3

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1、三　统计案例　　　　　　　1．最小二乘法对于一组数据(xi，yi)，i＝1，2，…，n，如果它们线性相关，则线性回归方程为＝x＋，其中=2．2×2列联表2×2列联表如表所示：BB总计Aaba＋bAcdc＋d总计a＋cb＋dn其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．3．K2检验常用随机变量K2＝来检验两个变量是否有关系．1．回归分析的两个关注点(1)回归分析是建立在两个具有相关性的变量之间的一种模拟分析，因此先判断其是否具有相关性．(2)并非只有线性相关关系，还可能存在非线性相关关系．2．独立性检验的两个注意点(1)通过独立性检

2、验得到的结论未必正确，它只是对一种可靠性的预测．(2)2×2列联表中，当数据a，b，c，d都不小于5时，才可以用K2检验．主题1　回归分析　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的

3、判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为【解】　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．＝－＝563－68×6.8＝100.6

4、，所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．解决回归分析问题的一般步骤(1)画散点图．根据已知数据画出散点图．(2)判断变量的相关

5、性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程．(3)回归分析．画残差图或计算R2，进行残差分析．(4)实际应用．依据求得的回归方程解决问题．　　在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：x(元)1416182022y(件)1210753且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏．解：＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，所以＝7.4＋1.15×18

6、＝28.1，所以y对x的回归直线方程为＝－1.15x＋28.1.列出残差表为yi－i00.3－0.4－0.10.2yi－4.62.6－0.4－2.4－4.4主题2　独立性检验　某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数大于等于70的人，饮食以肉类为主．)(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其30位亲属的饮食习惯；(2)根据以上数据完成如表所示的2×2列联表．主食蔬菜主食肉类总计50岁以下50岁以上总计(3)能否在犯错误的

7、概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？【解】　(1)30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主，50岁以下的人饮食多以肉类为主．(2)2×2列联表如表所示：主食蔬菜主食肉类总计50岁以下481250岁以上16218总计201030(3)随机变量K2的观测值k＝＝10>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．独立性检验问题的求解策略(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．(2)K2统计量法：通过公式K2

8、＝先计算观测值k，再与临界值表作比较，最后得出结论．　　在考查黄烟是否经过药物处理与发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断经过药物处理跟发生青花病是否有关系．解：由已知，