欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:45518252
大小:70.80 KB
页数:4页
时间:2019-11-14
《2019-2020年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式自我小测新人教A版选修》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式自我小测新人教A版选修1.数学归纳法适用于证明的命题的类型是( )A.已知⇒结论B.结论⇒已知C.直接证明比较困难D.与正整数有关2.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N+,且n>1)时,第一步应证下述哪个不等式成立( )A.1<2B.1+<2C.1++<2D.1+<23.用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边( )A.增加了一项B.增加了两项,C.增加了两项,,但减少了一项D.以上各种情况均不正确
2、4.某同学回答“用数学归纳法证明<n+1(n∈N+)”的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设当n=k(k≥1)时有<k+1,那么当n=k+1时,=<=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于n∈N+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于( )A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从k到k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体5.在△ABC中,不等式++≥成立;在四边形ABCD中,不等式+++≥成立;在五边形ABCDE中,不等式++++≥成立.猜想
3、在n边形A1A2…An中,其不等式为__________.6.设数列{an}满足a1=0,an+1=ca+1-c,n∈N+,其中c为实数.(1)证明an∈[0,1]对任意n∈N+成立的充分必要条件是c∈[0,1];(2)设0<c<,证明an≥1-(3c)n-1,n∈N+.7.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N+),证明对任意的n∈N+,不等式··…·>成立.参考答案1.D2.C3
4、.解析:当n=k时,不等式为++…+<;当n=k+1时,不等式左边=++…+++=++…+++.比较n=k和n=k+1,易知选C.答案:C4.解析:证明<(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设<k+1.答案:A5.+++…+≥6.证明:(1)必要性:∵a1=0,∴a2=1-c.又∵a2∈[0,1],∴0≤1-c≤1,即c∈[0,1].充分性:设c∈[0,1],对n∈N+用数学归纳法证明an∈[0,1].当n=1时,a1=0∈[0,1].假设ak∈[0,1](k∈N+,k≥1),则ak+1=ca+1-c≤c+1-c=1,且ak+1=
5、ca+1-c≥1-c≥0,∴ak+1∈[0,1].由数学归纳法,知an∈[0,1]对所有的n∈N+成立.综上,可得an∈[0,1]对任意n∈N+成立的充分必要条件是c∈[0,1].(2)设0<c<,当n=1时,a1=0,结论成立.当n≥2时,∵an=ca+1-c,∴1-an=c(1-a)=c(1-an-1)(1+an-1+a).∵0<c<,由(1)知an-1∈[0,1],∴1+an-1+a≤3且1-an-1≥0.∴1-an≤3c(1-an-1).∴1-an≤3c(1-an-1)≤(3c)2(1-an-2)≤…≤(3c)n-1(1-a1)=(3c)n
6、-1.∴an≥1-(3c)n-1(n∈N+).7.答案:(1)解:因为对任意的n∈N+,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上,所以Sn=bn+r.当n=1时,a1=S1=b+r.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn-bn-1=(b-1)bn-1.又因为{an}为等比数列,所以r=-1,公比为b,an=(b-1)bn-1(n∈N+).(2)证明:当b=2时,an=(b-1)bn-1=2n-1,bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n,则=,所以··…·=×××
7、…×.下面用数学归纳法证明不等式··…·=×××…×>成立.①当n=1时,左边=,右边=,因为>,所以不等式成立.②假设当n=k(k∈N+,k≥1)时不等式成立,即··…·=×××…×>成立,则当n=k+1时,左边=··…··=×××…××>·===>.所以当n=k+1时,不等式也成立.由①②可得所证不等式恒成立.
此文档下载收益归作者所有