2019-2020年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理教学案新人教A版选修2-2

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1、2019-2020年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理教学案新人教A版选修2-2　预习课本P70～77，思考并完成下列问题(1)归纳推理的含义是什么？有怎样的特征？　　(2)类比推理的含义是什么？有怎样的特征？(3)合情推理的含义是什么？　　1．归纳推理和类比推理[点睛]　(1)归纳推理与类比推理的共同点：都是从具体事实出发，推断猜想新的结论．(2)归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，因此不一定正确．2．合情推理1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体

2、中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．(　　)(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．(　　)(3)由个别到一般的推理为归纳推理．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√2．由“若a＞b，则a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，则ac＞bc”采用的是(　　)A．归纳推理　　　　　　B．演绎推理C．类比推理D．数学证明答案：C3．数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．答案：65归纳推理在数、式中的应用[典例]　(1)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)

3、A．28　　　　　　　　B．76C．123D．199(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．[解析]　(1)利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结

4、果的和．(2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，∴根据前几项可以猜想fn(x)＝.[答案]　(1)C　(2)f3(x)＝　fn(x)＝1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳

5、推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．　　　　　　[活学活用]1．观察下列等式：－2＋－2＝×1×2；－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；……照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的

6、一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．答案：n(n＋1)2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，满足Sn＝6－2an＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4的值．(2)猜想an的表达式．解：(1)因为a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)，所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝，又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋，解得a3＝，又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋＋，解得a4＝.(2)由(1)知a1＝3＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，…，猜想an＝(n∈N*).归纳推理在几何中的应用[

7、典例]　有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　)A．26B．31C．32D．36[解析]　有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.[答案]　B利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式．(2)递推公式法：探究后一