2019-2020年高中数学第二章平面向量§2.4平面向量的数量积二、平面向量数量积的运算律教案新人教A版必修4

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1、2019-2020年高中数学第二章平面向量§2.4平面向量的数量积二、平面向量数量积的运算律教案新人教A版必修4教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析： 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质. 教学过程：一、复习引入：1．两个非

2、零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量

3、a

4、

5、b

6、cosq叫ａ与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b=

7、a

8、

9、b

10、cosq，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：

11、b

12、cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为

13、b

14、；当q=180°时投影为-

15、b

16、.4．向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于

17、a的长度与b在a方向上投影

18、b

19、cosq的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1°e×a=a×e=

20、a

21、cosq；2°a^bÛa×b=03°当a与b同向时，a×b=

22、a

23、

24、b

25、；当a与b反向时，a×b=-

26、a

27、

28、b

29、.特别的a×a=

30、a

31、2或4°cosq=；5°

32、a×b

33、≤

34、a

35、

36、b

37、二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a×b=b×a证：设a，b夹角为q，则a×b=

38、a

39、

40、b

41、cosq，b×a=

42、b

43、

44、a

45、cosq∴a×b=b×a2．数乘结合律：(a)×b=(a×b)=a×(b)证：若>0，(a)×b=

46、a

47、

48、b

49、c

50、osq，(a×b)=

51、a

52、

53、b

54、cosq，a×(b)=

55、a

56、

57、b

58、cosq，若<0，(a)×b=

59、a

60、

61、b

62、cos(p-q)=-

63、a

64、

65、b

66、(-cosq)=

67、a

68、

69、b

70、cosq，(a×b)=

71、a

72、

73、b

74、cosq，a×(b)=

75、a

76、

77、b

78、cos(p-q)=-

79、a

80、

81、b

82、(-cosq)=

83、a

84、

85、b

86、cosq.3．分配律：(a+b)×c=a×c+b×c在平面内取一点O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

87、a+b

88、cosq=

89、a

90、cosq1+

91、b

92、cosq2∴

93、c

94、

95、a+b

96、cosq=

97、c

98、

99、a

100、cosq1+

101、c

102、

103、b

104、cosq2，∴

105、c×(a+b)=c×a+c×b即：(a+b)×c=a×c+b×c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.解：由(a+3b)(7a-5b)=0Þ7a2+16a×b-15b2=0①(a-4b)(7a-2b)=0Þ7a2-30a×b+8b2=0②两式相减：2a×b=b2代入①或②得：a2=b2设a、b的夹角为

106、q，则cosq=∴q=60°例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD中，，，=∴

107、

108、2=而=，∴

109、

110、2=∴

111、

112、2+

113、

114、2=2=例3四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜

115、с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形.评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量