2019-2020年高中数学第二章参数方程一1参数方程的概念教学案新人教A版选修4

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1、2019-2020年高中数学第二章参数方程一1参数方程的概念教学案新人教A版选修4　　　　　　　　　　　　1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t(θ，φ，…)的函数：①，并且对于每一个t的允许值，方程组①所确定的点(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，t叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫普通方程．2．参数的意义参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．　　　　　　　

2、　　　　　参数方程表示的曲线上的点[例1]　已知曲线C的参数方程是(t为参数)．(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系．(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．[思路点拨]　由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上．[解]　(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，得：解得：t＝0.∴点M1在曲线C上．同理：可知点M2不在曲线C上．(2)∵点M3(6，a)在曲线C上，∴解得：t＝2，a＝9.∴a＝9.参数方程是曲线方程

3、的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．1．已知点M(2，－2)在曲线C：(t为参数)上，则其对应的参数t的值为________．解析：由t＋＝2知t＝1.答案：12．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，a∈R)．点M(5,4)在该曲线上，求常数a.解：∵点M(5,4)在曲线C上，∴解得：∴a的值为1.求曲线的参数方程[例2]　如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．[思

4、路点拨]　此类问题关键是参数的选取．本例中由于A、B的滑动而引起点P的运动，故可以OB的长为参数，或以角为参数，不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解．[解]　法一：设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q.如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)．∵

5、OA

6、＝，∴

7、BQ

8、＝.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为(0＜t＜a)．法二：设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．取∠QBP＝θ，θ为参数，则∠ABO＝－θ.在Rt△OA

9、B中，

10、OB

11、＝acos＝asinθ.在Rt△QBP中，

12、BQ

13、＝acosθ，

14、PQ

15、＝asinθ.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角

16、为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．3．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M(x，y)对应时刻t，由图可知：又θ＝·t，故参数方程为：　　　　　　　　　　　　一、选择题1．下列方程可以作为x轴的参数方程是(　　)A.　

17、　　　　　　　B.C.D.解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.答案：D2．若点P(4，a)在曲线(t为参数)上，则a等于(　　)A．4B．4C．8D．1解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得⇒答案：B3．在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为(　　)A．(2，－7)B．(，)C．(，)D．(1,0)解析：将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．答案：C4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程

18、为(　　)A.B.C.D.解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.∴.答案：A二、填空题5．已知曲线(θ为参数，0≤θ＜2π)．下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲线上的点是________．解析：将A点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B、C点坐标代入方程，方程无解，故A点在曲线上．答案：A(1,3)6．下列各参数方程与方程xy＝1表示相同曲线的序号是____