2019年高中数学 1.3.2 极大值与极小值课后知能检测 苏教版选修2-2

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1、2019年高中数学1.3.2极大值与极小值课后知能检测苏教版选修2-2一、填空题1．(xx·广州高二检测)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．【解析】　由题意得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x<0时，f′(x)>0；当02时，f′(x)>0.故当x＝2时取得极小值．【答案】　22．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极值，则x0＝________．【解析】　f′(x)＝2x＋x·2xln2＝2x(1＋xln2)，由已知f′(x0)＝0，∴2x0(1＋x0ln2)＝0，即1＋x0ln2＝0.∴x0＝－.【答案】　－3

2、．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________．【解析】　由f′(x)＝＝0，∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，又f(x)在x＝1处取极值，∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3.【答案】　34．(xx·杭州高二检测)设a∈R，若函数y＝ex－ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．【解析】　y′＝ex－a，令y′＝0得x＝lna，令lna＞0，则a＞1.【答案】　(1，＋∞)5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．【解析】　y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．令y′＝0得x1＝0，x2＝4.x，y′，y之间

3、的关系如下表x(－∞，0)0(0，4)4(4，＋∞)y′－0＋0－y极小极大由表可知y极大＝f(4)＝32＋m＝13.∴m＝－19.【答案】　－196．(xx·连云港高二检测)已知函数f(x)＝x3＋(3－5cosα)x2－3x在x＝1处有极值，则cos2α＝________．【解析】　∵f′(x)＝3x2＋2(3－5cosα)x－3，且f(x)在x＝1处有极值．∴f′(1)＝3＋2(3－5cosα)－3＝0，∴cosα＝，因此cos2α＝2cos2α－1＝－.【答案】　－7．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是

4、________．【解析】　依题意，f′(x)＝3x2－2ax＋3a＝0有两个不同实根，∴Δ＝(－2a)2－4×3×3a＞0，解得a＜0或a＞9.【答案】　(－∞，0)∪(9，＋∞)8．函数f(x)＝alnx＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＋b＝________．【解析】　f′(x)＝＋2bx＋3＝，∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，即为2bx2＋3x＋a＝0的两根，∴由根与系数的关系知解得故a＋b＝－.【答案】　－二、解答题9．设函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k＞0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(

5、x)的极小值大于0，求实数k的取值范围．【解】　(1)f′(x)＝3kx2－6x＝3kx(x－)．∵k＞0，令f′(x)＞0，得x＞或x＜0；令f′(x)＜0，得0＜x＜.∴f(x)的增区间是(－∞，0)与(，＋∞)；减区间是(0，)．(2)由(1)知，f(x)的极小值f()＝－＋1＝1－，依题意，1－＞0，∴k＞2.故实数k的取值范围是(2，＋∞)．10．设函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1为f(x)的极值点．(1)求实数a和b的值；(2)讨论f(x)的单调性．【解】　(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x＋2)＋x(

6、3ax＋2b)，又x＝－2和x＝1为f(x)的极值点，所以f′(－2)＝f′(1)＝0，因此解方程组得a＝－，b＝－1.(2)因为a＝－，b＝－1.所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.因为当x∈(－∞，－2)∪(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(－2，0)∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－2，0)和(1，＋∞)上是单调递增的；在(－∞，－2)和(0，1)上是单调递减的．11．(xx·重庆高考)设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；

7、(2)求函数f(x)的极值．【解】　(1)因为f(x)＝alnx＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x＞0)，f′(x)＝－－＋＝＝.令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因为x2＝－不在定义域内，舍去)．当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，故f(x)