2019-2020年高考数学大一轮复习 课时限时检测（二十四）正弦定理、余弦定理的应用举例

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习课时限时检测（二十四）正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为(　　)A．10km　　　　　　B．10kmC．10kmD.10km【答案】　D2．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为(　　)图3－8－10A．10mB.20m

2、C．20mD.40m【答案】　D3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时(　　)A．5海里B.5海里C．10海里D.10海里【答案】　C4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是(　　)图3－8－11A．10海里B.

3、10海里C．20海里D.20海里【答案】　A5．如图3－8－12所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为(　　)图3－8－12A.　　B.C.　　D.【答案】　A6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m(如图3－8－13所

4、示)，则旗杆的高度为(　　)图3－8－13A．10mB.30mC．10mD.10m【答案】　B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为km.【答案】　－18．如图3－8－14，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝.图3－8－14【答案】　159．如图3－8

5、－15所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树米时，看A，B的视角最大．图3－8－15【答案】　6三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)如图3－8－16，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．图3－8－16(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．【解】　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB

6、＝12海里，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28(海里)．所以渔船甲的速度为＝14(海里/时)．(2)由(1)知BC＝28海里，在△ABC中，∠BCA＝α，由正弦定理得＝.即sinα＝＝＝.11．(12分)某单位设计了一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图3－8－17所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成

7、，边BA，AD再用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC图3－8－17(1)设AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(2)求四边形ABCD面积的最大值．【解】　(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA.同理，在△CBD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cosC因为A和C互补，所以cosA＝－cosC，所以AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝BC2＋CD2－2BC·CD·cosC＝BC2＋CD2＋2BC·CD·cosA.

8、即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cosA＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)cosA，解得cosA＝，即f(x)＝，x∈(2,5)．(2)四边形ABCD的面积为S＝(AB·AD＋BC·CD)sinA＝[x(5－x)＋x(9－x)]＝x(7－x)＝＝.记g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2,5)，