2019-2020年高考数学 6.7 数学归纳法练习

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1、2019-2020年高考数学6.7数学归纳法练习(25分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(xx·郑州模拟)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上(　　)A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2【解析】选D.当n=k时,左边=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左边=1+2+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,所以应加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.2.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始

2、值n0应取(　　)A.2B.3C.5D.6【解析】选C.当n=1时,21=2=12+1,当n=2时,22=4<22+1=5,当n=3时,23=8<32+1=10,当n=4时,24=16<42+1=17,当n=5时,25=32>52+1=26,当n=6时,26=64>62+1=37,故起始值n0应取5.3.(xx·南昌模拟)已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系是(　　)A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+

3、1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选A.f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+[2(k+1)]2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,故选A.4.(xx·潍坊模拟)某个命题与正整数有关,若当n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=4时该命题不成立,那么可推得(　　)A.当n=5时,该命题不成立B.当n=5时,该命题成立C.当n=3时,该命题成立D.当n=3时,该命题不成立【解析】选D.由数学归纳法的特点可以知道,当n=4时该命题不成立,可知当n=3时,该命题不成立.5.对于不等式<

4、n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即

5、·洛阳模拟)用数学归纳法证明1+++…+1)时,第一步应验证的不等式是　　　　　.【解析】由n∈N*,n>1知,n取第一个值n0=2,当n=2时,不等式为1++<2.答案:1++<2【误区警示】此题很容易出现,第一步验证的不等式是n=2时左边为1+,缺少了,而导致答案不正确.7.设Sn=1++++…+,则Sn+1-Sn=　　　　　　　　　　.【解析】因为Sn+1=1++…+++…+,Sn=1++++…+,所以Sn+1-Sn=++…+.答案:+++…+8.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n都有(Sn-1)2=anSn,通过计

6、算S1,S2,S3,猜想Sn=　　　　　.【解析】由(S1-1)2=得:S1=;由(S2-1)2=(S2-S1)S2得:S2=;由(S3-1)2=(S3-S2)S3得:S3=.猜想Sn=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列{an}中,1

7、an-

8、<.【证明】(1)因为1-,-<,所以-

9、a3-

10、<

11、.②假设当n=k(k≥3且k∈N*)时,

12、ak-

13、<成立,则当n=k+1时,

14、ak+1-

15、=·

16、ak-

17、·

18、ak+-2

19、<·<,即n=k+1时结论成立.由①②可知,当n≥3时,

20、an-

21、<.【方法技巧】数学归纳法证明不等式的种类和注意点(1)证明不等式的种类一般有三种:一是直接给出不等式;二是比较两个式子的大小,先利用n的几个特殊值猜想大小再证明;三是已知不等式成立,寻求变量的取值范围.(2)从n=k到n=k+1成立时,一定要用假设n=k的中间过渡,可以用放缩法、基本不等式、分析法等.10.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1,对任意的正整数n都有(

22、n2+n)(-)=1,(1)求数列{an}的通项公式