2016届高考数学一轮总复习 6.7数学归纳法练习

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1、第七节　数学归纳法时间：45分钟　分值：100分一、选择题1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋解析　总项数为n2－n＋1，f(2)＝＋＋.故选D.答案　D2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)A．7B．8C．9D．10解析　1＋＋＋…＋＝

2、>，整理得2n>128，解得n>7.∴初始值至少应取8.答案　B3．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2B．1＋3＋5＋…＋(2k＋3)＝(k＋2)2C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2D．1＋3＋5＋…＋(2k＋3)＝(k＋3)2解析　当n＝k＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＋(2k＋3)＝(k＋1)2＋(2k＋3)＝(k＋2)

3、2.答案　B4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立．现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝4时，该命题成立解析　因为当n＝k时命题成立可推出n＝k＋1时成立，所以n＝5时命题不成立，则n＝4时命题也一定不成立．答案　C5．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　)A.B.C.

4、D.解析　由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2.∴a2＝＝，S3＝3(2×3－1)a3，即＋＋a3＝15a3.∴a3＝＝，同理可得a4＝.答案　C6．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是(　　)A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7k)解析　(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这

5、就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任意k∈N*都成立．故选D.答案　D二、填空题7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．解析　∵n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．答案　2k＋18．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系是__________．解析　∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)

6、2，f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案　f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)29．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和)，则S2，S3，S4分别为__________，由此猜想Sn＝__________.解析　由Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，得2Sn＋1＝Sn＋2S1，∵S1＝a1＝1，∴2Sn＋1＝Sn＋2.令n＝1

7、，则2S2＝S1＋2＝1＋2＝3，∴S2＝.同理，分别令n＝2，n＝3，可求得S3＝，S4＝.由S1＝1＝，S2＝＝，S3＝＝，S4＝＝，猜想Sn＝.答案　，，　三、解答题10．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)．证明　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)．则当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2

8、＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝k(4k2－1)＋4k2＋4k＋1＝k[4(k＋1)2－1]－k·4(2k＋1)＋4k2＋4k＋1＝k[4(k＋1)2－1]＋(12k2＋12k＋3－8k2－4k)＝k[4(k＋1)2－1]＋[4(k＋1)2－1]＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]．即当n＝k＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式都成立．11．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1