2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第四篇 组合 第30章 组合几何试题 新人教版

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1、2019-2020年初中数学竞赛专题复习第四篇组合第30章组合几何试题新人教版30.1.1**求证：可以把三角形划分成三块，拼成一个矩形．解析如图，不妨设为△之最大边，故，，设、中点分别为、，作，，易知、在上．今过作，分别与直线、交于、，于是易见△≌△，△≌△，因此△被分成三块，拼成了矩形．30.1.2**任何不等边三角形都可以被两个较小与之相似的三角形覆盖．解析如图，不妨设△∽△∽△，且△最大．注意这里△是预先给定的，而△与△都是构造的．不妨设，如图，又让．（与重合，与重合），、分别在、上，．

2、于是只要设与交于，在上，即能保证△与△均比△小．30.1.3***求证：同时平分一个三角形面积和周长的直线必通过该三角形的内心，对于任意圆外切多边形，是否有类似论断？解析对于任意圆外切多边形都成立．如图，设平分线交外切凸多边形于点、，分成两段与，圆心为，半径为，由，得，即过圆心．30.1.4**已知坐标平面上有一个△，顶点坐标分别为（，）、（，）、（，），则有定理，以此证明：格点三角形的面积≥；对于任何大的正数，是否都存在三边长均大于且面积为的格点三角形？解析面积公式可用外接矩形推导．又设△中，

3、点为原点（0，0），、为格点（，）、（，），则由面积公式知，下研究不定方程．比如方便地，令（，）＝（，），（，）＝（，），只要是充分大的正整数，、、都充分大．30.1.5***证明：凸多边形不能划分成有限个非凸四边形．解析假设凸多边形能分割成非凸四边形，…，多边形中小于的内角和与另外的角之和的差用数来表示，另外的角是指中大于的角关于的补角．比较数和，为此研究四边形，…，的所有顶点，这些顶点能够分成4种类型：（1）多边形的顶点．这些点给予和同样的值．（2）在多边形或四边形边上的点．每个这样的点给予

4、的值比给予的值大．（3）多边形的内点．在这点引出四边形的小于的角，每个这样的点给予的值比给予的值大．（4）多边形的内点，在此点引出四边形的一个大于的角，这样的点给予和的值为零．总之，得到．另一方面，，而．不等式是显然的，而对于等式的证明，可以验证：如果是非凸四边形，则．设的角，任意的非凸四边形相当于有一个角大于，因此．矛盾，因此不可能把凸多边形分割成有限个非凸四边形．30.1.6***求证：对任意有界凸形，存在两个矩形、，与相似，面积分别为、，覆盖，包含，．解析如图，设的直径（即中最远两点之距离

5、）为，则过点、与垂直的直线、是的左、右支撑线（即碰到边界不穿过其内部的直线）．作的上、下支撑线、，使，即四边形为矩形，就是包含的．设点、是与、的公共点，于是四边形在凸形之中．不妨设点在点“左”侧，设，，，则，，，又在上取一点，使，，又设、、、分别与、、、交于点、、、，如图所示，可以证明面，，及，于是可以在线段、、、上分别找四点、、、，满足，易知矩形在中，且与矩形相似，面积为，这就是我们要找的．由对称性，只需证与即可．即或，由于，故显然成立．至于即，此即，移项化为求证．由及知显然成立，证毕．30.

6、1.7***平面上有（≥3）个半径为1的圆，且任意3个圆中至少有两个圆有交点，证明：这些圆覆盖平面的总面积小于33．3．解析不妨记这个圆心分别为点，，…，，且距离最远．现过点、分别作的垂线与，则点，，…，均在与之间的带形区域内．现以点为圆心、2为半径在的（含的）一侧作半圆，与交于点、，则该半圆包含了全体与点的距离不超过2的圆心．同样若以点为圆心、3为半径作半圆，与交于点、，再向左作矩形，使，最后添上两个四分之一圆，得一凸形，如图（）所示，易知此凸形包含了所有圆心与点的距离不大于2的圆，该凸形的面

7、积为．易知，剩下的所有圆心两两距离必≤2（否则若，又，，、与，两两相离，与题设矛盾），于是可以找到三对平行线（，，），满足凸六边形内角均为，且三对平行线之间距离均为2，并使剩下的所有圆心均在此六边形内，如图（）所示．今补出菱形，知六边形的周长为4．现设，，易知，故．让一半径为1的动圆圆心在六边形周边上跑一圈，设其外端形成的凸形面积为，易知剩下的圆全在此凸形中，且，于是覆盖总面积≤．30.1.8***求证：从任何面积为的等腰三角形中，都可以割出3个互不相交的全等三角形，每个面积均超过．解析不妨设．

8、当时，如图（），找到△的内心，在上取一点，使，于是△、△与△即为所求，这是由于，得，．当时，如图（），在上取点、，使，又在、上分别取点、，使，于是△、△、△即为所求．这是由于，故，于是，．30.1.9**平面上有若干个圆，它们覆盖平面的面积是1，证明：可以从中选出若干个两两不相交的圆，使它们的面积之和不小于．解析首先，从这些圆中选出半径最大的圆，并考察半径为其3倍的同心圆，从中可剔除所有在这个同心圆里面的圆，于是剩下的圆与原来的最大圆没有交点．再在剩下的圆中找出最大的圆，重复上述过程．由于圆的总