初中数学竞赛专题复习 第四篇 组合 第29章 图论初步试题 新人教版

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1、第29章图论初步29.1.1*某大型晚会有2009个人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明：必有一个人至少认识其中的二个人．解析2009这个数目较大，我们先考虑：某小型晚会有5人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明：必有一个人至少认识其中的二个人．用5个点、、、、表示5个人，如果两个人彼此认识（本章中的“认识”都是指相互认识），就在表示这两个人的顶点之间连一条边．对顶点功来说，由于所表示的人至少认识其他4个人的一个，不妨设与认识，即和相邻，同样，设与相邻，如图所示．对于顶点来说，无论它与、、、哪个相邻，都会出现一个顶点引

2、出两条边的情况．于是问题得以解决．用同样的方法可以证明，对2009个人来说，命题成立．其实，把2009换成任意一个大于l的奇数，命题也成立．29.1.2*在一间房子里有（>3）个人，至少有一个人没有和房子里每个人握手，房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是多少？解析用个顶点表示个人，若某两个人握过手，就在他们相应的顶点之间连一条边，这样就得到了一个图．因为不是任何两个人都握过手，所以的边数最多是完全图（即个点每两点之间恰连一条边）的边数减1，去掉的那条边的两个端点和所表示的两个人未握过手．所以房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是．29

3、.1.3***九名数学家在一次国际数学会议上相遇，发现他们中的任意三个人中，至少有两个人可以用同一种语言对话．如果每个数学家至多可说三种语言，证明至少有三个数学家可以用同一种语言对话．解析用9个点，，…，表示这九名数学家，如果某两个数学家能用某种语言对话，就在他们相应的顶点之间连一条边并涂以相应的颜色．我们要证明的是：存在三个顶点、、，使得边（，）和（，）是同色的．这样的，、、这三名数学家就能用同一种语言对话．下面就顶点，分两种情形：（1）与，…，均相邻，由于每个数学家至多能说三种语言，所以每一个顶点引出的边的颜色至多是三种．根据抽屉原理知

4、，从发出的8条边中至少有2条是同色的，不妨设为（，）、（，）．于是、、所表示的三名数学家能用同一种语言对话．见图（）．（2）与，，…，中的至少一点不相邻，不妨设功与功不相邻．由于任意三个数学家中，至少有两个人可以用同一种语言对话，所以，，，…，中的每一个不是和研相邻就是和功相邻，根据抽屉原理可知，其中至少有4个点与或相邻．不妨设、、、与相邻，如图（），再对引出的这4条边用抽屉原理可得，至少有2条边是同色的，设为（，）、（，）．于是、、所表示的三名数学家能用同一种语言对话．评注若本题中的九改成八，则命题不成立．反例如图（）所示．图中每条边旁的

5、数字表示不同的语种．29.1.4**证明任何一群人中，至少有两个人，它们的朋友数目相同．解析设任意给定的一群人有个．用顶点表示这个人．当且仅当顶点、表示的两个人是朋友时令、相邻，得到个顶点的简单图．对中任意，由于它可以和其他个顶点相邻，所以顶点的度（）满足，即图的顶点度只能是个非负数0，1，…，中的一个．如果图的顶点的度都不相同，则图具有0度顶点和度顶点．度顶点和中其他顶点都相邻，特别地和顶点相邻．但0度顶点和中任何顶点都不相邻，矛盾．这就证明了中必定有两个顶点，它们的度相同．也就是说，这群人必有两个人，他们的朋友一样多．29.1.5***

6、有一个参观团，其中任意四个成员中总有一名成员原先见过其他三名成员．证明：在任意四名成员中，总有一名成员原先见过所有成员．解析用图论语言表示即：图的任意四点中至少有一个顶点和其他三个顶点相邻．证明图任意四个顶点中至少一个顶点和中其他所有顶点都相邻．用反证法．如果命题不成立，则中有四个点、、、，它们和图中的其他所有顶点不都相邻．于是存在四个顶点、、、（不一定不同）它们依次与、、、都不相邻．如图．所以不是、、中的一个，且与是两个不同的顶点．如果与不同，则、、、中没有一个顶点和其他三个顶点都相邻，和已知矛盾．所以和重合．同理可证，和重合．于是和、、

7、都不相邻，和已知矛盾．这就证明了图中任意四个顶点中至少有一个顶点和的其他所有顶点都相邻．29.1.6**是否存在这样的多面体，它有奇数个面，每个面有奇数条棱？解析不存在这样的多面体．事实上，如果这样的多面体存在，那么用顶点表示这个多面体的面，并且仅当、所代表的两个面有公共棱时，在图相应的两顶点之间连一条边，依题意是奇数，于是奇数个奇数和也是奇数．而这一个图中的顶点的和为偶数矛盾．评注关于图的顶点和边数之间的关系，有如下定理：图中边数的两倍等于顶点度数之和．即若中个顶点为，，…，，边数为，则．29.1.7*名选手进行对抗赛，每名选手至多赛一场

8、，每场两名选手参加，已赛完场．证明：至少有一名选手赛过三次．解析把选手看成顶点．当且仅当、所代表的两名选手比赛过时，令、相邻，得到含个顶点的简单图．由于总共赛过场，所以，图的边数