初中数学竞赛专题复习 第四篇 组合 第23章 组合计数试题 新人教版

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1、第四篇组合第23章组合计数23.1加法原理和乘法原理23.1.1★有800名乒乓球选手参加淘汰赛，需要进行多少场比赛才能决出冠军？解析由于每场比赛淘汰一名选手，即比赛的场数与被淘汰的选手人数是相等的．要决出冠军，需淘汰799名选手，所以需要进行799场比赛．23.1.2★★一个小朋友有8块相同的巧克力（即不计顺序），他每天至少吃一块，直至吃完，问共有多少种不同的吃巧克力的方案？解析将8块巧克力排成一行．如果第一天吃2块，第二天吃1块……那么，就在第2块后面画一条竖线，这后面的第1块的后面（即第3块的后面）画一条竖线……这样，吃巧克力的方案就与在8块巧克力的7个空隙里添加竖线对应

2、起来．由于每个空隙里加以加1根竖线，也可以不加，所以，由乘法原理知，加竖线的方法共有（种）．从而吃巧克力的方案也就有128种．23.1.3★有多少个有序整数对(,)满足？解析我们把这个问题分成6种情况：，，1，2，…，5．当时，（，）（0，0）；当时，(,)=(0,)，(0,)，(1,0)，(,0)；当时，(,)=(,)，(,1)，(1,)，(1,1)；当时，不可能；当时，不可能；当时，(,)=(0,)，(0,2)，(,0)，(2,0)；当时，(,)=(,)，(,1)，(,)，(,2)，(,)，(1,2)，(2,)，(2,1)．由加法原理知，满足题设的有序数对共有（个）．23.

3、1.4★★利用数字、2、3、4、5共可组成（1）多少个数字不重复的三位数？（2）多少个数字不重复的三位偶数？（3）多少个数字不重复的偶数？解析（1）百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择，所以共有个数字不重复的三位数．（2）先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有个数字不重复的三位偶数．（3）分为5种情况：一位偶数，只有两个：2和4．二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54．三位偶数由上述（2）中求得的为24个．四位偶数共有：个．括号外面的2表示个位数有2种选择（2或4）．五位偶数共

4、有：个．由加法原理，偶数的个数共有（个）．23.1.5★★从1到300的正整数中，完全不不含有数字3的有多少个？解析1将符合要求的正整数分为以下三类：（1）一位数，有1、2、4、5、6、7、8、9共8个．6、7、8、9八种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有个．（3）三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0、1、2、4、5、6、7、8、9九种情形，故三位数有个．因此，从1到300的正整数中完全不含数字3的共有个．解析2将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不出现的，百位数字可以是0、1或2三种情况，十位数字

5、与个位数均有九种，因此除去0共有个．23.1.6★★一个班级有30名学生．（1）从中选出2人，一个担任班长，一个担任副班长，共有多少种不同的选法？（2）从中选2个人去参加数学竞赛，有多少种不同的选法？解析（1）从30个人中选1个人担任班长，有30种选法，再从剩下的29个人中选1个人担任副班长，有29种选法，则由乘法原理知，共有不同的选法为（种）．（2）从30个人中选两人有种选法，但由于选出甲、乙去比赛和选出乙、甲去比赛是相同的情况，因此不同的选法共有（种）．23.1.7★★在小于10000的正整数中，含有数字1的数有多少个？解析不妨将1至9999的正整数均看作四位数，凡位数不到

6、四位的正整数在前面补0，使之成为四位数．先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字所组成的四位数的个数，由于每一位都有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为．其中包括了一个0000，这不是正整数，所以比小的不含数字1的正整数有个，于是，小于10000且含有数字1的正整数共有个．23.1.8★★在1到9999中，有多少个整数与4567相加，至少在一个数位中发生进位？解析将0到9999这10000个整数都看成四位数，即位数不中四位的，在左面添0补足四位．考虑这些四位数中，有多少个在与4567相加时不发生进位．这样的数

7、，千位数字有0、1、2、3、4、5这6种可能；百位数字有0、1、2、3、4这5种可能；十位数字有0、1、2、3这4种可能；个位数字有0、1、2这3种可能．所以这样的数共有（个）．其中包括0．所以，在到9999中，与4567相加产生进位的整数有（个）．23.1.19★★在1到1999这1999个自然数中，取4的倍数与7的倍数各一个相加，一共可得到多少个不同的和．解析在1到1999这1999个自然数中，有4的倍数499个，它们是4，8，12，…，1992，1996；有7的倍数285个，它们是7，